Методические рекомендации
.pdfА2.8. Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа 1-й станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9; для 2-го – 0,8; для третьего – 0,85. Какова вероятность того, что в течение часа потребуют внимания рабочего: а) ни один станок; б) все три станка; в) какойнибудь один станок; г) хотя бы один станок?
А2.9. Агрегат имеет 3 двигателя и способен функционировать, если работают по крайней мере 2 из них. Вероятность выхода из строя 1-го двигателя – 0,01; 2- го – 0,02; 3- го – 0,03. Какова вероятность выхода из строя агрегата?
А2.10. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, наудачу и последовательно извлекают по 1 шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится: а) с возвращением; б) без возвращения.
А2.11. Студент может уехать в институт или автобусом, который ходит через каждые 20 минут, или троллейбусом, который ходит через каждые 10 минут. Какова вероятность того, что студент, подошедший к остановке, уедет в течение: а) ближайших 5 минут; б) ближайших 10 минут?
А2.12. Радист трижды вызывает корреспондентов. Вероятность того, что корреспондент примет 1-й вызов, равна 0,2; 2-й – 0,3 и 3-й – 0,4. По условиям приема события, состоящие в том, что i-й по счету вызов (i = 1, 2, 3) услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент: а) услышит радиста; б) не услышит радиста.
А2.13. В театральной кассе к некоторому моменту времени остались: 1 билет в театр эстрады, 2 билета в драматический театр и 3 билета в театр комедии. Каждый очередной покупатель приобретает лишь один билет в любой из возможных театров. Два человека из очереди последовательно приобрели билеты. Найти вероятность того, что: а) куплены билеты в разные театры; б) куплены билеты в один какой-нибудь театр; в) все билеты в театр эстрады распроданы; г) билет в театр комедии куплен раньше, чем в театр эстрады.
А2.14. Студенты выполняют контрольную работу в классе контролирующих машин. Работа состоит из 3 задач. Для получения положительной оценки достаточно решить 2 задачи. Для каждой задачи зашифровано 5 различных ответов, из которых только один
23
правильный. Студент плохо знает материал и поэтому выбирает ответы для каждой задачи наудачу. Какова вероятность того, что он получит положительную оценку?
А2.15. Наудачу подбрасывают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков четна; б) произведение очков четно; в) на одной из костей число очков четно, а на другой нечетно; г) ни на одной из костей не выпало 6 очков.
А2.16. Вероятность улучшить свой прежний результат для данного спортсмена равна р. Найти вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать 2 попытки.
А2.17. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона, поэтому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем в 3 места. Как изменится вероятность, если он помнит, что эта цифра нечетная?
А2.18. Технический контроль проверяет из партии готовой продукции не более 5 изделий последовательно друг за другом. При обнаружении бракованного изделия бракуется вся партия. Найти вероятность того, что вся партия будет забракована, если брак в ней составляет 4%.
А2.19. Вероятность попадания в цель при 1 выстреле равна 1/2. Найти вероятность того, что с 2 выстрелов цель будет поражена.
А2.20. В механизм входят 2 одинаковые детали. Механизм не будет работать тогда, когда обе поставленные детали будут уменьшенного размера. У сборщика 10 деталей, из них 3 меньше стандарта. Найти вероятность того, что механизм будет работать, если детали извлекаются случайно.
А2.21. Вероятность того, что в страховую компанию в течение
года обратится с иском о возмещении ущерба 1-й клиент, равна 0,15. Для 2-го клиента вероятность такого обращения – 0,05, а для 3-го клиента – 0,02. Определить вероятность того, что в течение года обратится хотя бы 1 клиент, если обращение клиентов – события независимые.
А 2.22. Стрелки А, В и С поражают мишень с вероятностями 0,8, 0,7 и 0,6 соответственно. Был сделан залп по мишени одновременно каждым из стрелков, в результате чего 2 пули попали в цель. Найти вероятность того, что стрелок С: а) попал в цель; б) не попал в цель.
24
А2.23. Вероятность того, что проходящая мимо бензоколонки машина подъедет к заправке, равна 0,4. При каком количестве проходящих мимо машин можно сделать вывод, что с вероятностью не меньшей, чем 0,9, можно утверждать, что хотя бы одна из них потребует заправки?
А2.24. Сколько раз нужно бросить 2 игральные кости, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,5, хотя бы один раз появилась сумма очков, равная 12?
А2.25. Саженец яблони приживается с вероятностью 0,6, груши – 0,5 и винограда – 0,4. Было посажено по 1 дереву каждого вида. Прижилось 2 саженца. Какое событие при этом более вероятно: саженец винограда прижился или саженец винограда не прижился?
А2.26. Производится подбрасывание игральной кости до появления 6 очков на верхней грани. Найти вероятность того, что придется сделать 5 подбрасываний.
А2.27. Два стрелка производят стрельбу по мишени, вероятности попадания в которую для каждого стрелка одинаковы и равны 0,8. Найти вероятность того, что при 3 выстрелах у 1 стрелка будет больше попаданий, чем у 2-го.
А2.28. На полке имеется 15 тетрадей, из которых 3 в линейку, остальные в клетку. Найти вероятность того, что при случайном изымании 3 тетрадей не более 2 из них будут в клетку.
А2.29. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9. Сколько следует произвести выстрелов, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, был хотя бы один промах?
А2.30. Вероятность того, что студент ответит на теоретический вопрос билета, равна 0,9, решит предложенную задачу – 0,8. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, состоящий из одного теоретического вопроса и двух задач, если для этого необходимо обязательно ответить на теоретический вопрос и решить хотя бы одну задачу?
А2.31. Вероятность успешной сдачи экзамена по математической статистике равна 0,7, а при каждой следующей попытке увеличивается на 0,1. Какова вероятность того, что студент не будет отчислен из-за несдачи экзамена по математической статистике, если пересдавать экзамен можно не более 2 раз?
25
А2.32. Команда состоит из 2 стрелков, вероятность попадания в цель 1-м из которых равна 0,8; 2-м – 0,9. Каждому разрешено сделать в случае промаха еще 1 выстрел. Какова вероятность того, что в мишени будет две пробоины?
А2.33. В продаже имеется 50 альбомов по 50 коп., 30 альбомов
–по 70 коп. и 20 альбомов – по 1 грн. Какова вероятность того, что стоимость двух купленных альбомов не превысит 1,5 грн?
А2.34. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к двери. Ключ подбирается наудачу. Какова вероятность того, что для открывания двери придется сделать не более двух проб?
А2.35. Из группы туристов, отправляющихся за границу, 60% владеют английским языком, 40% – французским и 10% – обоими языками. Найти вероятность того, что наудачу взятый турист будет нуждаться в переводчике.
А2.36. На рекламной фирме 21% работников получают высокую зарплату. Среди них отношение числа мужчин и женщин равно 14,6:6,4. Известно также, что на фирме работают 40% женщин. Выяснить, существует ли на фирме дискриминация женщин в оплате труда.
А2.37. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,75, а при наличии конкурирующего товара равна 0,25. Вероятность выпуска конкурентом товара равна 0,35. Найти вероятность того, что товар будет иметь успех.
А2.38. В течение года две фирмы имеют возможность, независимо друг от друга, обанкротиться с вероятностями 0,06 и 0,09. Найти вероятность того, что в конце года обе фирмы будут функционировать.
А2.39. На предприятии установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал появляется с вероятностью 0,95. Однако сигнал может возникнуть без аварийной ситуации с вероятностью 0,001. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,005. Чему равна вероятность аварийной ситуации, если сигнализация сработала?
А 2.40. Из ящика, содержащего 20 стандартных и 10 бракованных изделий, поочередно извлекаются 2 изделия (без возвращения). Какова вероятность при первом и втором извлечениях получить стандартные изделия?
26
Блок В
В2.1. На предприятии брак составляет в среднем 2% общего выпуска изделий. Среди годных изделия первого сорта составляют 95%. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется первого сорта, если изделие взято: а) из числа прошедших проверку; б) из общей массы изготовленной продукции?
В2.2. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что пять первых покупателей потребуют обувь 41-го размера.
В2.3. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что
втечение смены потребует его внимания первый станок, равна 0,7, второй - 0,75, третий - 0,8. Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребуют какие-либо два станка.
В2.4. Среди вырабатываемых рабочим деталей в среднем 4% брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание пяти деталей не найдется ни одной бракованной?
В2.5. Для сообщения об аварии установлены два независимо работающие сигнализатора-автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй - 0,9. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал: а) хотя бы от одного сигнализатора; б) только от одного сигнализатора.
В2.6. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность того, что обладатель пяти билетов лотереи выиграет: а) по всем пяти; б) ни по одному; в) хотя бы по одному билету?
В2.7. В шестиламповом радиоприемнике (все лампы различные) перегорела одна лампа. С целью устранения неисправности наудачу выбранную лампу заменяют исправной из запасного комплекта, после чего сразу проверяют работу приемника. Если приемник заработал – проверку прекращают. Если нет – одну из оставшихся ламп снова заменяют исправной и т.д. Какова вероятность того, что приемник будет нормально работать после замены: а) одной; б) двух; в) трех; г) четырех; д) пяти; е) шести ламп?
В2.8. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,3, второй - 0,4, третий - 0,7, четвертый - 0,4. Найти вероятность того, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего.
27
В2.9. Среди 60 электрических лампочек три нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые одновременно электролампочки окажутся нестандартными.
В2.10. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные красные. Определить вероятность того, что вынутые наудачу две нити будут: а) одного цвета; б) разных цветов.
В2.11. В связке имеются пять различных ключей, из которых только одним можно открыть дверь. Наудачу выбирается ключ и делается попытка открыть им дверь. Ключ, оказавшийся неподходящим, больше не используется. Найти вероятность того, что: а) дверь будет открыта первым ключом; б) для открывания двери будет использовано не более двух ключей.
В2.12. Радист может трижды вызвать корреспондента. Вероят-
ность того, что будет услышан |
первый вызов, равна 0,2, |
второй - 0,3, третий - 0,4. События, |
состоящие в том, что данный |
вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста.
В2.13. Два стрелка производят в цель по одному выстрелу. Пусть вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7, для второго - 0,8. Найти вероятность того, что попадут в цель: а) оба; б) только один; в) ни один.
В2.14. Деталь проходит три операции обработки. Вероятность того, что она окажется бракованной после первой операции, равна 0,02, после второй - 0,03, третьей - 0,02. Найти вероятность того, что деталь будет небракованной после трех операций, предполагая, что появление брака на отдельных операциях - независимые события.
В2.15. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7, второй - 0,4, третий - 0,4, четвертый - 0,3. Найти вероятность того, что хотя бы один станок в течение часа не потребует внимания рабочего.
В2.16. Четыре охотника договорились сделать по одному выстрелу по дичи. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым из охотников одинаковые и равны по 0,8. Найти вероятность того, что будет произведено: а) один, б) два, в) три, г) четыре выстрела.
28
В2.17. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый, второй вопросы, равны по 0,9, на третий - 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все вопросы; б) по крайней мере на два вопроса билета.
В2.18. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 5%, причем среди забракованной по признаку А продукции в 10% случаев встречается дефект В, а в продукции, свободной от дефекта А, дефект В встречается в 1% случаев. Найти вероятность того, что дефект В не встретится во всей продукции.
В2.19. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 4%, а вследствие дефекта В - 3,5%. Годная продукция завода составляет 95%. Найти вероятность того, что: а) среди продукции, не обладающей дефектом А, встретится дефект В; б) среди забракованной по признаку А продукции встретится дефект В.
В2.20. Пусть вероятность попадания в движущуюся цель при одном выстреле постоянна и равна 0,05. Сколько необходимо сделать выстрелов для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,75, иметь хотя бы одно попадание?
В2.21. Заводом послана автомашина за различными материалами на четыре базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0,9, на второй - 0,95, на третьей - 0,8, на четвертой - 0,6. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.
Блок С
С 2а Вероятность попадания в цель первым охотником равна p1 , вторым – p2 . Найти вероятность того, что:
а) оба попадут; |
|
|
б) ни один не попадет; |
|
|||
в) хотя бы один попадет; |
|
г) только один попадет в цель? |
|||||
Номер |
Исходные данные |
|
Номер |
Исходные данные |
|||
варианта |
p1 |
p2 |
|
варианта |
p1 |
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С 2.1 |
0,7 |
0,6 |
|
С 2.6 |
0,55 |
|
0,6 |
С 2.2 |
0,7 |
0,8 |
|
С 2.7 |
0,65 |
|
0,8 |
С 2.3 |
0,75 |
0,55 |
|
С 2.8 |
0,7 |
|
0,9 |
С 2.4 |
0,65 |
0,8 |
|
С 2.9 |
0,75 |
|
0,8 |
С 2.5 |
0,9 |
0,75 |
|
С 2.10 |
0,9 |
|
0,65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
С 2б Диспетчер обслуживает три линии. Вероятность того, что на протяжении часа обратятся по первой линии, составляет p1 , по
второй – p2 , по третьей – p3 . Какая вероятность того, что на про-
тяжении часа диспетчер получит вызовы: а) с одной линии; б) хотя бы с одной линии;
в) не меньше чем с двух линий?
Номер |
Исходные данные |
Номер |
Исходные данные |
||||
варианта |
p1 |
p2 |
p3 |
варианта |
p1 |
p2 |
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С 2.11 |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
С 2.16 |
0,3 |
0,25 |
0,18 |
С 2.12 |
0,3 |
0,15 |
0,2 |
С 2.17 |
0,5 |
0,1 |
0,15 |
С 2.13 |
0,2 |
0,18 |
0,16 |
С 2.18 |
0,1 |
0,25 |
0,18 |
С 2.14 |
0,4 |
0,35 |
0,18 |
С 2.19 |
0,2 |
0,15 |
0,3 |
С 2.15 |
0,1 |
0,2 |
0,25 |
С 2.20 |
0,3 |
0,18 |
0,35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С 2в Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна p1 , на второй – p2 , на третий – p3 . Найти вероятность того, что студент
сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все вопросы; б) хотя бы на два вопроса билета?
Номер |
Исходные данные |
Номер |
Исходные данные |
||||
варианта |
p1 |
p2 |
p3 |
варианта |
p1 |
p2 |
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С 2.21 |
0,7 |
0,6 |
0,8 |
С 2.26 |
0,6 |
0,85 |
0,9 |
С 2.22 |
0,8 |
0,65 |
0,9 |
С 2.27 |
0,7 |
0,9 |
0,85 |
С 2.23 |
0,6 |
0,75 |
0,7 |
С 2.28 |
0,8 |
0,58 |
0,9 |
С 2.24 |
0,7 |
0,85 |
0,9 |
С 2.29 |
0,6 |
0,78 |
0,85 |
С 2.25 |
0,8 |
0,9 |
0,65 |
С 2.30 |
0,5 |
0,9 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
30
Тема 3 Формула полной вероятности. Формула Байеса
Необходимо ввести и точно определить гипотезы Bi и ито- говое событие A , указать вероятности гипотез P(Bi ) и условные вероятности события A при наступлении каждой гипотезы PB i ( A) . При этом совокупность гипотез должна образовывать полную группу событий, поэтому сумма их вероятностей рав-
n
на 1: ∑ P(Bi ) = 1 .
i =1
Решение типовых задач Задача 1. На сборку поступают детали с 3 станков-автома-
тов, производительности которых относятся как 2:3:5. Брак в их продукции составляет 2%, 1%, 3% соответственно. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь из общей продукции автоматов стандартная.
Решение. Пусть событие A состоит в том, что наудачу взятая деталь из общей продукции автоматов стандартная. Это событие происходит совместно с одной из гипотез Bi (i = 1, 2, 3) ,
состоящих в том, что деталь с i-го автомата. Вероятности этих гипотез:
P(B ) = |
|
2 |
= 0,2 ; P(B ) = |
3 |
= 0,3 ; P(B ) = |
5 |
= 0,5 . |
||
|
|
|
|
|
|||||
1 |
10 |
2 |
10 |
3 |
10 |
|
|||
|
|
|
|
||||||
Гипотезы образуют полную группу событий, сумма их вероятностей равна 1.
Условные вероятности интересующего нас события A равны:
PB 1 ( A) = 0,98 ; PB 2 ( A) = 0,99 ; PB 3 ( A) = 0,97 .
Искомую вероятность события A найдем по формуле полной вероятности, которая в нашем случае запишется так:
P( A) = P(B1 )PB1 ( A) + P(B2 )PB2 ( A) + P(B3 )PB3 ( A) .
Получаем окончательно
P( A) = 0,2 × 0,98 + 0,3 × 0,99 + 0,5 × 0,97 = 0,978 .
31
Задача 2. Наборщик типографии использует 2 набора шрифтов одинакового объема, при этом в 1-м из них 80%, а во 2 – 70% высококачественного шрифта. Наудачу извлеченная литера из наудачу взятого набора оказалась высококачественной. Найти вероятность того, что эта литера взята из 2-го набора.
Решение. Событие A – наудачу взятая литера высококачественная. Как и в предыдущей задаче, оно происходит совместно
с одной из гипотез Bi (i = 1, 2) – |
|
литера с i-го набора – |
вероятно- |
||||||||
сти которых P(B1) = P(B2 ) = 0,5 . Гипотезы |
B1 и B2 |
образуют |
|||||||||
полную группу событий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию PB 1 ( A) = 0,8 , |
|
PB 2 |
( A) = 0,9 . Требуется найти веро- |
||||||||
ятность PA (B2 ) , т.е. переоценить вероятность гипотезы B2 при |
|||||||||||
условии, что событие |
A уже наступило. Используем формулу |
||||||||||
Байеса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PA (Bi ) = |
|
P(Bi ) × PB i ( A) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
P( A) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где P( A) = ∑ P(Bi ) ×PB i |
( A) – |
формула полной вероятности. |
|||||||||
i =1 |
|
|
|
|
|
0,5 × 0,9 |
|
|
|
|
|
В данном случае P (B ) = |
|
|
|
|
|
= |
9 |
» 0,529 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
2 |
0,5 |
× 0,8 + 0,5 × 0,9 |
17 |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
Задачи для отчета преподавателю Блок А
А3.1. Из 20 отобранных деталей 5 изготовлено на станке № 1, 10 изготовлено на станке № 2, остальные – на станке № 3. Вероятность изготовления стандартной детали на станке № 1 равна 0,96, на станке № 2 – 0,98. Найти вероятность изготовления стандартной детали на станке № 3, если вероятность при случайном отборе получить стандартную деталь из указанных 20 равна 0,98.
А3.2. На сборку поступают детали с 4 автоматов. Второй дает 40%,
атретий – 30% продукции, поступающей на сборку. Первый автомат выпускает 0,125% брака, а второй, третий и четвертый – по 0,25%. Сколько процентов продукции идет на сборку с 4-го автомата, если вероятность поступления на сборку бракованных деталей равна 0,00225?
32