Методические рекомендации
.pdfЗадачи для отчета преподавателю
Блок А
А1.1. На 6 карточках написаны буквы к, а, р, е, т, а. После того, как их тщательно перемешают, берут наудачу по 1 карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово "ракета"?
А1.2. Из разрезной азбуки выкладывается слово "статистика". Затем все буквы этого слова перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово "статистика"?
А1.3. Из разрезной азбуки составлено слово "треугольник". Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем выбрал 4 из них и собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него появятся слова: а) "руль"; б) "угол".
А1.4. Телефонный номер состоит из 7 цифр. Какова вероятность того, что в нем: а) все цифры различны; б) все цифры нечетные; в) все цифры различны и четные?
А 1.5. По линии связи в случайном порядке передаются 30 знаков алфавита. Найти вероятность того, что на ленте появится последовательность букв, образующих слово "режим".
А 1.6. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что они различны, набрал эти цифры наудачу. Какова вероятность того, что набран нужный номер?
А 1.7. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со 2-го. Найти вероятность следующих событий: а) все пассажиры выйдут на 4-м этаже; б) все пассажиры выйдут одновременно (на одном и том же этаже); в) все пассажиры выйдут на разных этажах.
А1.8. В коробке содержится 4 одинаковых занумерованных кубика. Наудачу по одному извлекают все кубики из коробки. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.
А1.9. Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность следующих событий: а) число одинаково читается как слева
13
направо, так и справа налево (например, 12321); б) число кратно 5; в) число состоит из нечетных цифр.
А1.10. На понедельник в институте запланировано 3 лекции по различным предметам из 10 изучаемых на данном курсе. Какова вероятность того, что студент, не успевший ознакомиться с расписанием, его угадает, если любое расписание из 3 предметов равновозможно?
А1.11. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают
7 костей. Какова вероятность, что среди них окажется: а) по крайней мере одна кость с 5 очками; б) по крайней мере одна кость с 5 или 6 очками?
А1.12. Из 10 первых букв русского алфавита наудачу составляется новый алфавит, состоящий из 5 букв. Определить вероятность следующих событий: а) в состав нового алфавита входит буква "а"; б) в состав нового алфавита входят только согласные буквы.
А1.13. Среди кандидатов в студсовет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают 5 человек на конференцию. Найти вероятность следующих событий: а) будут выбраны одни третьекурсники; б) все первокурсники попадут на конференцию; в) не будет выбрано ни одного второкурсника.
А1.14. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты. Найти вероятность следующих событий: а) выбраны все карты трефовой масти; б) выбран хотя бы один король.
А1.15. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода – 1 час, а второго – 3 часа.
А1.16. На отдельных карточках написаны 12 вариантов контрольной работы, которые распределяются случайным образом среди 10 студентов, сидящих в одном ряду. Найти вероятность следующих событий: а) варианты с номерами 4 и 5 останутся неиспользованными; б) варианты 5 и 10 достанутся рядом сидящим студентам; в) будут распределены последовательные номера вариантов.
14
А1.17. Среди 10 студентов, случайным образом занимающих очередь за учебниками в библиотеку, находятся 2 подруги. Какова вероятность того, что в образовавшейся очереди между подругами окажется 4 человека?
А1.18. Из общего количества костей домино наудачу извлекли 1 кость. Оказалось, что это не дубль. Какова вероятность того, что 2-ю извлеченную кость домино можно будет приставить к 1-й?
А1.19. В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматически отпирается, если последовательно набрать 2 цифры из имеющихся 10. Некто вошел в подъезд и, не зная кода, стал пробо-
вать различные комбинации, затрачивая на каждую попытку 10 секунд. Какова вероятность того, что вошедшему удастся открыть дверь: а) за 10 минут; б) за 15 минут; в) за 1 час?
А1.20. В телефонной книге случайно выбирается номер телефона, состоящий из 7 цифр. Найти вероятность того, что: а) четыре последние цифры телефонного номера одинаковы; б) все четыре последние цифры различны.
А1.21. В ящике имеется 15 деталей, 9 из которых окрашены. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окрашены.
А 1.22. Группа из 8 юношей и 8 девушек делится случайно на 2 равные части. Найти вероятность того, что в каждой части юношей и девушек поровну.
А1.23. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 8, а разность – 4.
А1.24. На 5 карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Две из них одна за другой извлекаются. Найти вероятность того, что число на 2-й карточке будет больше, чем на 1-й.
А1.25. Программа экзамена содержит 20 различных вопросов, из которых студент знает только 10. Для успешной сдачи экзамена достаточно ответить на 2 из 3 предложенных вопросов. Какова вероятность успешной сдачи экзамена?
А1.26. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на 3 из 4 вопросов билета. Взглянув на 1-й вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст зачет; б) не сдаст зачет?
15
А1.27. В лотерее 100 билетов. Из них 25 выигрышных. Определить вероятность того, что 2 приобретенных билета окажутся выигрышными.
А1.28. Регистр калькулятора содержит 8 разрядов. Считая, что появление любого числа на регистре случайно, определить вероятность следующих событий: а) во всех разрядах стоят нули; б) во всех разрядах стоят одни и те же цифры; в) регистр содержит только 2 одинаковые цифры; г) регистр содержит только 2 пары одинаковых цифр; д) регистр содержит 3 одинаковые цифры.
А1.29. Из 7 яблок, 3 апельсинов и 5 лимонов случайным образом в пакет отбирают 5 фруктов. Найти вероятности следующих событий:
а) в пакете только 1 апельсин; б) пакет не содержит апельсинов; в) пакет не содержит лимонов; г) пакет не содержит яблок.
А1.30. Путем жеребьевки разыгрываются 6 подписных изданий среди 12 участников, каждый из которых не может получить более 1 подписки. Найти вероятность того, что из списка получат подписку: а) первые 6 человек; б) первые 3 человека; в) 1-й человек; г) 1-й и 3-й человек.
А1.31. Подбрасывают наудачу 3 игральные кости. Вычислить вероятности следующих событий: а) на 3 костях выпадут разные грани; б) хотя бы на одной из костей выпадет шестерка.
А1.32. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих карандашей. Наудачу вынимаются без возвращения 2 карандаша. Найти вероятность того, что окажется не вынутым: а) синий карандаш; б) зеленый карандаш; в) красный карандаш.
А1.33. Студент знает 14 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит хотя бы на один из них.
А1.34. В круг вписан квадрат. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в круг, окажется внутри квадрата.
А1.35. На шахматной доске случайным образом поставлены черная и белая ладьи. Какова вероятность того, что они не могут бить друг друга?
А1.36. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
16
А 1.37. На карточках |
отдельно написаны |
буквы: |
А – на 3; |
Е – на 1-й; И – на 1-й; |
К – на 1-й; М – на 2; |
Т – на 2 |
карточках. |
Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает их одну к другой. Найти вероятность того, что в результате получится слово «МАТЕМАТИКА».
А1.38. 10 солдат-новобранцев разного роста случайным образом становятся в строй. Какова вероятность того, что они расположатся в строю по росту?
А1.39. Среди поступающих в ремонт часов 40% нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность того, что из 5 взятых наугад часов все нуждаются в чистке механизма?
А1.40. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для аудиторской проверки случайно выбраны 5 сбербанков. Какова вероятность того, что хотя бы 2 из них окажутся в черте города?
Блок В
В1.1. В механизм входят три одинаковые детали. Работа механизма нарушается, если при его сборке будут поставлены все три детали размера, больше обозначенного на чертеже. У сборщика пять деталей из оставшихся 12 большего размера. Найти вероятность: а) нормальной; б) ненормальной работы первого собранного из этих деталей механизма, если сборщик берет детали наудачу.
В1.2. В механизм входят три одинаковые детали. Работа механизма нарушается, если при его сборке будут поставлены все три детали, большие или все три детали, меньшие обозначенного на чертеже размера. У сборщика осталось 15 деталей, из которых 10 по размеру больше, а остальные - меньше требуемого. Найти вероятность ненормальной работы первого собранного из этих деталей механизма, если сборщик берет детали наудачу.
В1.3. При приеме партии изделий подвергается проверке половина изделий. Условие приемки - наличие брака в выборке не более 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5% брака, будет принята.
В1.4. Слово «ИНТЕГРАЛ» состоит из букв разрезной азбуки. Наудачу извлекают 4 карточки и выкладывают в ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность того, что при этом получится слово «ИГРА»?
17
В1.5. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы «А», «Г», «И», «Л», «М», «О», «Р», «Т», получится слово «АЛГОРИТМ»?
В1.6. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы «О», «О», «О», «Л», «М», «Т», «К», получится слово «МОЛОТОК»?
В1.7. Из пяти видов открыток наудачу выбираются 3 открытки. Какова вероятность того, что все три открытки будут разные?
В1.8. На 5 одинаковых шарах написаны числа 1, 2, 3, 4, 5 – по одному на каждом. Шары положены в урну и перемешаны. Какова вероятность того, что, вынимая наудачу один за другим 3 шара, (без возврата) получим все 3 шара нечетного номера?
В1.9. В группе учится 12 человек, из них 10 юношей и 2 девушки. На субботник отбирают 5 человек. Какова вероятность того, что в субботнике будут участвовать обе девушки?
В1.10. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.
В1.11. Найти вероятность того, что точка, брошенная в произвольное место внутри круга радиуса R=5, попадет во вписанный в этот круг правильный треугольник.
В1.12. Найти вероятность того, что точка, брошенная в произвольное место внутри круга радиуса R=6, попадет во вписанный в этот круг квадрат.
В1.13. Найти вероятность того, что точка, брошенная в произвольное место внутри круга радиуса R=2, попадет во вписанный в этот круг прямоугольный равнобедренный треугольник.
В1.14. В круг радиуса 10 см бросают точку. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до центра круга не превышает
5 см.
В1.15. В круг радиуса 20 см бросают точку. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до центра круга больше 5 см.
В1.16. В круг радиуса 12 см бросают точку. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до центра круга заключено в пределах от 2 до 5 см.
18
В 1.17. Стержень длиной l разломали на две части. Найти веро-
ятность того, что длина меньшей части не превысит l .
3
В 1.18. Стержень длиной l разломали на две части. Найти веро-
ятность того, что длина меньшей части превысит l .
3
Блок С
С 1 Наудачу выбраны два положительных числа x и y , каждое из которых не превышает a . Найти вероятность того, что их сумма
будет не больше b , а отношение |
y |
– не меньше c . |
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Номер |
Исходные данные |
|
Номер |
Исходные данные |
||||
варианта |
a |
b |
c |
варианта |
a |
b |
c |
|
С 1.1 |
7 |
5 |
2 |
|
С 1.16 |
7 |
4 |
1/2 |
С 1.2 |
6 |
4 |
3 |
|
С 1.17 |
9 |
6 |
3 |
С 1.3 |
10 |
4 |
1/2 |
|
С 1.18 |
9 |
5 |
4 |
С 1.4 |
8 |
5 |
3 |
|
С 1.19 |
8 |
5 |
3/4 |
С 1.5 |
6 |
4 |
1/3 |
|
С 1.20 |
7 |
5 |
1/3 |
С 1.6 |
8 |
4 |
2 |
|
С 1.21 |
6 |
3 |
2 |
С 1.7 |
8 |
5 |
4 |
|
С 1.22 |
6 |
5 |
2 |
С 1.8 |
8 |
6 |
3 |
|
С 1.23 |
9 |
7 |
1 |
С 1.9 |
7 |
5 |
3 |
|
С 1.24 |
9 |
5 |
5 |
С 1.10 |
6 |
4 |
1/2 |
|
С 1.25 |
8 |
5 |
3 |
С 1.11 |
5 |
3 |
1/4 |
|
С 1.26 |
7 |
6 |
1/2 |
С 1.12 |
7 |
4 |
3 |
|
С 1.27 |
6 |
4 |
1/2 |
С 1.13 |
8 |
6 |
4 |
|
С 1.28 |
5 |
3 |
1/2 |
С 1.14 |
6 |
4 |
2 |
|
С 1.29 |
5 |
4 |
1 |
С 1.15 |
5 |
3 |
2 |
|
С 1.30 |
7 |
4 |
5 |
19
Тема 2 Теоремы сложения и умножения вероятностей
Для использования теоремы сложения вероятностей важно установить несовместность событий. Если события-слагаемые совместны, то для нахождения вероятности их суммы иногда целесообразно перейти к противоположному событию.
Теорема умножения требует предварительного анализа независимости или зависимости событий-сомножителей. В последнем случае для применения этой теоремы используются условные вероятности.
Запись события С в виде суммы С = A1 + A2 + ... + An или произведения С = A1 × A2 ×... × An событий становится более понятной, если пользоваться логическим определением этих алгебраических операций над событиями: событие A1 + A2 + ... + An означает наступление или A1 , или A2 , или ..., или An ; событие A1 × A2 ×... × An означает наступление и A1 , и A2 , и ..., и An (одновременно).
Решение типовых задач Задача 1. Вероятность сдать каждый из 3 экзаменов сессии
на отлично для студента М равна соответственно 0,8, 0,7 и 0,75. Найти вероятность того, что студент сдаст на отлично: а) все три экзамена; б) два экзамена; в) хотя бы один.
Решение. Обозначим события:
A1 – студент сдаст 1-й экзамен на отлично;
A2 – студент сдаст 2-й экзамен на отлично;
A3 – студент сдаст 3-й экзамен на отлично. Противоположные им события A1 , A2 , A3 соответственно.
По условию вероятности этих событий равны:
P( A1) = p1 = 0,8 ; |
P( A2 ) = p2 = 0,7 ; |
P( A3 ) = p3 = 0,75 |
; |
||||||
P( |
|
|
P( |
|
|
P( |
|
|
|
A1) = q1 = 0,2 ; |
A2 ) = q2 = 0,3 ; |
A3 ) = q3 = 0,25 . |
|
||||||
а) Обозначим через А событие, состоящее в том, что студент сдаст на отлично все 3 экзамена, т.е. и первый (событие A1 ), и
20
второй (событие A2 ), и третий (событие A3 ). Тогда A = A1A2 A3 .
Вероятность события А найдем по теореме умножения для независимых событий:
P( A) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) × P( A2 ) × P( A3 ) = 0,8 × 0,7 × 0,75 = 0,42 .
б) Обозначим через В событие, состоящее в том, что студент сдаст два из трех экзаменов на отлично. Событие В через события Ai и Ai (i = 1, 2,3) можно представить следующим образом:
B = A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 .
Применяя теорему сложения для несовместных событий, а затем теорему умножения для независимых событий, находим вероятность события В:
P(B) = P( A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 ) =
=P( A1)P( A2 )P( A3 ) + P( A1)P( A2 )P( A3 ) + P( A1)P( A2 )P( A3 ) =
=0,8 × 0,7 × 0,25 + 0,8 × 0,3 × 0,75 + 0,2 × 0,7 × 0,75 = 0,425 .
в) Обозначим через С событие, состоящее в том, что хотя бы один экзамен из трех студент сдаст на отлично. Тогда противоположное ему событие C = A1 A2 A3 – ни один экзамен студент не
сдаст на отлично.
По следствию из теоремы сложения вероятностей получим
P(C) = 1- P(C ) = 1- P( A1A2 A3 ) = 1- P( A1) × P( A2 ) × P( A3 ) = = 1 - 0,2 × 0,3 × 0,25 = 1 - 0,015 = 0,985.
Задача 2. В ящике 50 кубиков, из которых 5 неокрашенных. Наудачу последовательно извлекаются 3 кубика. Определить вероятность того, что все извлеченные кубики окрашены.
Решение. Обозначим события:
A1 – 1- й извлеченный кубик окрашен;
A2 – 2- й извлеченный кубик окрашен;
A3 – 3- й извлеченный кубик окрашен.
Эти события зависимые, их вероятности находим по формулам:
P( A ) = |
45 |
, P ( A ) = |
44 |
, P |
|
( A ) = |
43 |
. |
|
|
|
|
|||||
1 |
50 |
A 2 |
49 |
A A |
|
3 |
48 |
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
Обозначим через D событие, |
состоящее |
в |
|
том, |
что все |
|||||||
3 кубика окрашены. Это событие можно представить |
в виде |
|||||||||||
D = A1 A2 A3 , тогда его вероятность найдем по теореме умноже- |
||||||||||||
ния вероятностей для зависимых событий: |
|
|
|
|
||||||||
P(D) = P( A1A2 A3 ) = P(A1 )× PA (A2 )× PA A |
(A3 ) = |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
||
= |
45 |
× |
44 |
× |
43 |
= |
1419 |
» 0,724 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
50 |
49 |
48 |
|
1960 |
|
|
|
|
|
|||
Задачи для отчета преподавателю
Блок А
А2.1. Из урны, содержащей 5 синих, 3 черных, 2 белых шара, извлекаются одновременно 3 шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары будут разных цветов.
А2.2. Вероятность того, что в электрической цепи напряжение превысит номинальное значение, равна 0,1. При повышенном напряжении вероятность аварии прибора потребителя электрического тока равна 0,08. Найти вероятность аварии прибора в случае повышения напряжения.
А2.3. Каждая буква слова "математика" написана на отдельной карточке. Случайно извлекаются 4 карточки. Какова вероятность получить при этом слово "тема"?
А 2.4. Номер серии выигрышного билета лотереи состоит из 5 цифр. Найти вероятности того, что 1-й номер выигравшей серии будет состоять только из нечетных цифр.
А2.5. Условиями приема допускается число бракованных деталей не более 1 детали из 5. Найти вероятность того, что партия из 10 деталей, среди которых 3 бракованных, будет принята при испытании выбранной наудачу половины всей партии.
А2.6. Какова вероятность того, что выбранное наудачу изделие окажется первосортным, если известно, что 3% всей продукции составляют нестандартные изделия, а 75% стандартных изделий удовлетворяют требованиям 1-го сорта?
А2.7. Вероятность только одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели 1-м орудием, если для 2-го эта вероятность равна 0,8.
22