Методические рекомендации

А 3.3. Из 20 стрелков	7 попадают в цель с вероятностью 0,6;
8 – с вероятностью 0,5 и	5 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбран-

ный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

А3.4. Три партии деталей содержат соответственно по 1/2, 2/3 и 1/2 бракованных. Из каждой партии взято по 1 детали, причем обнаружено 2 бракованных. Определить вероятность того, что доброкачественная деталь принадлежит 3-й партии.

А3.5. Из партии в 4 детали наудачу взята одна, оказавшаяся доброкачественной. Количество доброкачественных деталей равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных деталей наиболее вероятно и какова его вероятность?

А3.6. Число бракованных среди 6 изделий заранее неизвестно и все предположения о количестве бракованных изделий равновероятны. Взятое наудачу изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что: а) число бракованных изделий равно 6; б) взятое бракованное изделие единственно.

А3.7. В 2-х ящиках содержатся по 20 деталей, из которых в 1-м ящике – 12, а во 2-м – 15 стандартных. Из 1-го ящика перекладывается во 2-й одна деталь. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из 2-го ящика будет стандартной.

А3.8. В магазин поступили электролампы, произведенные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены 1-м заводом, а остальные – 2- м. Известно, что 3% ламп 1-го завода и 5% ламп 2-го завода не удовлетворяют стандарту. Какова вероятность, что взятая наудачу лампа будет стандартной?

А 3.9. Из 20 стрелков	7 попадают в цель с вероятностью 0,9;
8 – с вероятностью 0,5 и	5 – с вероятностью 0,6. Наудачу выбран-

ный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

А 3.10. Через остановку возле вокзала проходят автобусы маршрутов № 2, № 3, № 10 и № 29. Пассажир ждет автобус № 2 или № 10. Среди 50 курсирующих автобусов имеется 6 автобусов № 2 и 9 – № 10. Найти вероятность того, что 1-й, подошедший к остановке автобус будет нужного пассажиру маршрута, если появление на остановке любого автобуса предполагается равновероятным.

33

А3.11. Имеется 2 ящика изделий, причем в 1 ящике все изделия доброкачественны, а во 2 – только половина. Изделие, взятое наудачу из выбранного ящика, оказалось доброкачественным. На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит 1-му и 2-му ящику, если количество изделий в ящиках одинаково?

А3.12. Из контейнера, содержащего одинаковое количество деталей 4-х предприятий, взяли на проверку одну деталь. Какова вероятность обнаружения бракованной продукции, если продукция 2 предприятий содержит по 3/4 бракованных деталей, а вся продукция остальных предприятий доброкачественна?

А 3.13. В 2	ящиках содержится по 20	деталей, из которых в
1-м ящике – 16,	а во 2-м – 10 стандартных. Из 1-го ящика извлека-
ются и перекладываются во 2-й ящик		2 детали. Определить

вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из 2-го ящика будет стандартной.

А3.14. Известно, что 5% всех мужчин и 25% всех женщин – дальтоники. На обследование прибыло одинаковое число мужчин

иженщин. Наудачу выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина?

А3.15. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень c вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6; 2 – c вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

А3.16. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандартам. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а нестандартную – с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандартам.

А3.17. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40% приборов собираются из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его надежность (вероятность безотказной работы за время t) равна 0,95; если из деталей обычного качества, то 0,7. Прибор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

34

А3.18. Вероятности того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

А3.19. Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, 2 знают 20 билетов из 30, 1 успел повторить только 15 билетов, остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного на подготовку времени экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1?

А3.20. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 5 отличников, 12 подготовленных хорошо, 5 – удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 30 вопросов программы, хорошо подготовленные – 25, подготовленные удовлетворительно – 15, плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти вероятности событий: а) студент подготовлен отлично или хорошо; б) студент подготовлен удовлетворительно; в) студент подготовлен плохо.

А3.21. В продажу поступают телевизоры 3 видов. Продукция 1-го завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, 2-го – 10% и 3-го – 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с 1-го заво-

да, 20% – со 2-го и 50% – с 3-го?

А3.22. При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему 4-ю группу крови, можно переливать кровь любой группы; человеку со 2-й или 3-й группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо 1-й; человеку с 1-й группой крови можно перелить только кровь 1-й группы. Среди населения 33,7% имеют первую, 37,5% – вторую, 20,9% – третью и 7,9% – четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

35

А 3.23. В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбирают 2 мяча и после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекают еще 2 мяча. Какова вероятность того, что 2-я игра будет проводиться новыми мячами?

А3.24. Цех изготовляет кинескопы для телевизоров, причем 70% всех кинескопов предназначены для цветных телевизоров и 30% – для черно-белых. Известно, что 50% всей продукции отправляется на экспорт, причем из общего числа кинескопов, предназначенных для цветных телевизоров, 40% отправляется на экспорт. Найти вероятность того, что наудачу взятый для контроля кинескоп, предназначенный для чернобелого телевизора, будет отправлен на экспорт.

А3.25. Имеется 25 партий однотипных изделий: 10 партий по

10 изделий,		из которых 8 стандартных, 2 –				нестандартных;
5	партий по 8	изделий, из них 6	стандартных,	2	–	нестандартных;
5	партий по 8	изделий, из них 6	стандартных,	2	–	нестандартных;
5	партий по 5 изделий, из которых 4 стандартных, 1 нестандартно.

Из наудачу выбранной партии изымается одна деталь. Какова вероятность того, что она нестандартна?

А3.26. Три машинистки перепечатывали рукопись. 1-я напечатала 1/3 всей рукописи, 2-я – 1/4, остальное – 3- я. Вероятность того, что 1-я машинистка сделает ошибку, равна 0,15, 2-я – 0,1, 3- я – 0,1. При проверке была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошибка допущена 1-й машинисткой.

А3.27. Вероятность изготовления детали с дефектом равна 0,05. Вероятность обнаружения дефекта равна 0,95, а вероятность того, что годная деталь будет забракована, равна 0,02. Найти вероятность того, что: а) деталь будет принята; б) принятая деталь окажется с дефектом; в) непринятая деталь не будет иметь дефекта.

А3.28. Априорно установлено, что число дефектных деталей не превышает 3 на 100 и все значения (0, 1, 2, 3) числа дефектных деталей равновозможны. Какова вероятность того, что среди имеющихся 1000 изготовленных деталей нет дефектных, если из взятых на проверку 100 деталей дефектных не оказалось?

А3.29. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае шанс сдать экзамен выше: когда он подходит тянуть билет первым или не первым?

36

А 3.30. В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или черный. В урну опускается 1 белый шар, и после тщательного перемешивания наудачу извлекается 1 шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

А3.31. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в отношении 2:5:8, причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны 0,05, 0,03, 0,02. Приобретенный прибор оказался бракованным. Какова вероятность того, что он изготовлен 1-м заводом?

А3.32. Семьдесят процентов кинескопов, имеющихся на складе телеателье, изготовлены заводом №1, остальные – заводом №2. Вероятность того, что кинескоп завода №1 выдержит гарантийный срок службы, равна 0,9, для завода № 2 эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

А3.33. В двух ящиках содержится по 20 деталей, из которых в первом ящике – 16, а во втором – 10 стандартных. Из первого ящика извлекается и перекладывается во второй одна деталь. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из второго ящика будет стандартной?

А3.34. Из 20 отобранных деталей 5 изготовлено на станке № 1, 10 – на станке № 2, а остальные – на станке № 3. Вероятность изго-

товления стандартной детали на станке № 1 равна 0,96, на станке № 2 – 0,98. Найти вероятность изготовления стандартной детали на третьем станке, если вероятность при случайном отборе получить стандартную деталь из указанных 20 равна 0,97.

А3.35. Оператор радиолокационной станции фиксирует самолет противника с вероятностью 0,8 и принимает помеху за самолет с вероятностью 0,1. В 15% случаев на экран оператора попадает помеха. Оператор принял решение о наличии в воздушном пространстве самолета противника. Определить вероятность того, что сигнал получен действительно от самолета.

А3.36. Из 20 стрелков семь попадают в цель с вероятностью 0,6; восемь – с вероятностью 0,5 и пять – с вероятностью 0,7.

Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

37

А3.37. На строительство объекта поступают железобетонные плиты из 4 цементных заводов в количестве 50, 10, 40 и 30 штук соответственно. Каждый из заводов допускает при изготовлении плит брак (несоответствие ГОСТу), равный в процентном отношении соответственно 1, 5, 2 и 3. Какова вероятность того, что наугад взятая плита будет удовлетворять требованиям ГОСТа?

А3.38. Экономист считает, что вероятность роста стоимости акции компании в следующем году составит 0,75, если экономика страны будет на подъеме, и 0,30, если экономика не будет успешно развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического подъема равна 0,6. Оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в следующем году.

А3.39. Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течение обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0,9; от второй – с вероятностью 1, однако есть возможность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью 0,1; для второй – 0,02. В случае банкротства фирмы инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность того, что инвестор получит прибыль?

А3.40. В ремесленном цехе трудятся 3 мастера и 6 их учеников. Мастер допускает брак при изготовлении изделия с вероятностью 0,05; ученик – с вероятностью 0,15. Поступившее из цеха изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что его изготовил мастер?

Блок В

В3.1. Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,1% бракованных, со второго - 0,2%, с третьего - 0,25%, с четвертого - 0,5%. Производительности их относятся как 4 : 3 : 2 : 1 соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена: а) на первом; б) на втором; в) на третьем; г) на четвертом станке. Как проверить правильность вычислений этих вероятностей?

В3.2. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы четыре студента, из второй - шесть, из третьей - пять студентов. Вероятности того, что

38

отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,5, 0,4 и 0,3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?

В3.3. Имеется пять винтовок, из которых три с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом составляет для данного стрелка 0,95, без оптического прицела - 0,8. Найти вероятность попадания

вцель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки.

В3.4. С первого станка на сборку поступает 40%, со второго - 30%, с третьего - 20%, с четвертого - 10% всех деталей. Среди деталей первого станка 0,1% бракованных, второго - 0,2%, третьего - 0,25%, четвертого - 0,5%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

В3.5. Радиолампы производятся на двух заводах, причем первый из них поставляет 70% всей продукции, а второй – 30%. Из каждых 100 ламп первого завода 80 стандартных, а из 100 ламп второго завода – лишь 60 стандартных. Найти вероятности сле-

дующих событий: а) заказчик получил стандартную лампу; б) лампа произведена первым заводом, если известно, что она оказалась стандартной.

В3.6. В некоторой отрасли 30% продукции производится на первой фабрике, 25% – на второй, остальное – на третьей. На первой фабрике брак составляет 1% от общего объема произведенной продукции, на второй – 1,5%, на третьей – 2%. Купленная покупателем продукция оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была произведена на первой фабрике?

В3.7. Имеются три одинаковых с виду урны. В первой 3 белых

и4 черных шара, во второй – 5 белых и 7 черных, в третьей – только белые шары. Наугад из одной урны извлекают один шар. Найти вероятность того, что он белый.

В3.8. Три стрелка одновременно выстрелили в мишень, в результате чего в ней оказалась одна пробоина. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,3, второго – 0,5, третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в мишень попал второй стрелок.

39

В3.9. Имеются три одинаковых с виду урны. В первой 4 белых

и6 черных шаров, во второй – все белые, в третьей – все черные шары. Из выбранной наугад урны извлекают один шар. Найти вероятность того, что: а) шар черный; б) шар был извлечен из первой урны, если он оказался белым.

В3.10. Студент знает ответы на 25 билетов из 30. Один билет уже вытащили до него. Какова вероятность того, что студент знает попавшийся ему билет?

В3.11. В группе учатся 20 девочек и 10 мальчиков. Домашнее задание не выполнили 4 девочки и 3 мальчика. Наугад вызванный студент оказался не подготовлен. Какова вероятность того, что это мальчик?

Блок С

С 3а Инспекторы налоговой службы производят проверку деятельности предприятий: первый обслуживает n предприятий, среди которых k % не имеют задолженностей, второй m предприятий, из них l % без задолженностей. Какая вероятность того, что:

а) наудачу выбранное предприятие не имеет задолженностей; б) предприятие, которое не имеет задолженностей, проверял

первый инспектор?

Номер	Исходные данные				Номер	Исходные данные
варианта	n	k %	m	l %	варианта	n	k %	m	l %
С 3.1	50	15	70	20	С 3.6	55	20	75	40
С 3.2	70	25	80	30	С 3.7	85	35	95	15
С 3.3	65	20	75	40	С 3.8	90	25	70	30
С 3.4	80	25	100	40	С 3.9	80	20	55	45
С 3.5	70	30	90	20	С 3.10	60	30	90	50

40

С 3б Тираж популярной газеты печатается в двух типографиях. Мощности типографий соотносятся как s : r , причем первая дает u % брака, а вторая v % брака. Какая вероятность того, что:

а) наудачу выбранный экземпляр газеты будет бракованным; б) бракованный экземпляр газеты напечатан во второй типо-

графии?

Номер	Исходные данные				Номер	Исходные данные
варианта	s	r	u %	v %	варианта	s	r	u %	v %
С 3.11	3	4	2	1,5	С 3.16	3	5	3	2,5
С 3.12	2	5	3,5	2	С 3.17	3	1	2	2,5
С 3.13	4	3	2,5	3	С 3.18	1	4	2	3
С 3.14	5	2	2,5	3,5	С 3.19	3	7	4	3
С 3.15	4	5	4	2,5	С 3.20	5	4	3,5	3

С 3в В кассу предприятия поступили банкноты в пачках от двух

банков: a		пачек от первого и b –					от второго.		Ошибка кассиров
первого банка составляет t					%, а второго – f			%. Какая вероятность
того, что:
а)	наудачу выбранная пачка сформирована без ошибок;
б)	пачка без ошибок сформирована кассирами второго банка?
Номер		Исходные данные					Номер	Исходные данные
варианта		a	b	t %	f %.	варианта		a		b	t %	f %.
С 3.21		50	80	0,15	0,2		С 3.26	65		85	0,2	0,35
С 3.22		60	90	0,3	0,2		С 3.27	95		70	0,15	0,25
С 3.23		60	80	0,25	0,3		С 3.28	80		60	0,3	0,25
С 3.24		70	100	0,25	0,15		С 3.29	90		70	0,25	0,35
С 3.25		90	70	0,3	0,15		С 3.30	70		50	0,15	0,3

41

Тема 4 Повторные независимые испытания

Здесь рассматриваются n последовательных независимых испытаний, в каждом из которых событие A может как произойти с постоянной вероятностью P( A) = p , так и не произой-

ти с вероятностью P( A) = 1 - p = q . Результат испытаний – появление события A m раз ( m ≤ n ).

Решение типовых задач Задача 1. После года хранения на складе в среднем

10% аккумуляторов выходит из строя. Определить вероятность того, что после года хранения из 12 аккумуляторов окажутся годными: а) 10; б) больше половины.

Решение. Интересующее нас событие A – наудачу взятый аккумулятор после года хранения оказался годным, противопо-

ложное ему событие A – аккумулятор после года хранения вышел из строя. По условию P(A) =q =0,1, тогда P(A) = p =1− q = 0,9.

а) Определим вероятность того, что из n = 12 аккумуляторов после года хранения на складе окажется годных m = 10 . Приме-

ним формулу Бернулли P (m) = C m × pm × qn −m .
		n	n
Получаем	P	(10) = C10 ×0,910 ×0,12 » 0,2301.
б) n = 12 ;	12	12
	m	может	принять	любое	значение,	большее
12 / 2 = 6 , т. е. m Î{7, 8, 9,10,11,12}.
Искомая вероятность P12 (m > 6)				найдется по теореме сложе-
ния и формуле Бернулли			P (m > 6) = P (7) + P (8) + P (9) +
			12	12	12	12
+ P (10) + P (11) + P (12) = C7 × 0,97 × 0,15 + C8 × 0,98						× 0,14 +
12	12	12	12		12

+C129 × 0,99 × 0,13 + C1210 × 0,910 × 0,12 + C1211 × 0,911 × 0,1+ C1212 × 0,912 × (0,1)0 »

≈0,0038 + 0,0173 + 0,0852 + 0,2301 + 0,3766 + 0,2824 = 0,9954 .

Задача 2. Бракованные изделия, выпускаемые некоторым заводом, составляют в среднем 1,5%. Какое наивероятнейшее количество бракованных изделий будет в партии из 220 штук? Сколько нужно закупить изделий, чтобы наивероятнейшее число годных было равно 250?

42