24. Ознаки збіжності невластивого інтеграла по нескінченному проміжку

Теорема. Якщо на проміжку функціїінеперервні і задовольняють нерівність, то

а) якщо збігається інтеграл , то збігається і;

б) якщо розбігається інтеграл , то розбігається.

Рис. 20

Ця теорема дає достатню ознаку збіжності (чи розбіжності) невластивих інтегралів, основану на порівнянні підінтегральних функцій, тому її називаютьознака порівняння. Вона має цілком очевидне геометричне тлумачення: через нерівність нескінченна фігура, обмежена прямою, віссюі графіком функції, лежить

всередині аналогічної фігури, обмеженої згори графіком функції . Якщо площа більшої фігури є скінченне число (інтегралзбігається), то і площа меншої фігури є скінчене число (тобтозбігається). Якщо ж площа меншої фігури нескінченно велика, то і площа більшої фігури нескінченно велика (інтеграли розбігаються).

Приклади. Дослідити на збіжність інтеграли:

а) . Оскільки для всіхмає місце нерівність, аізбігається (див. попередній приклад,) то і заданий інтеграл збігається.

б) . Цей інтеграл розбігається, тому що для будь-якого

, а інтеграл розбігається.

Теорема (ознака порівняння у граничній формі)

Якщо функції інеперервні і приймають додатні значення в проміжкуі існує границя, то інтегралиіабо обидва збігаються, або обидва розбігаються.

Ця ознака іноді виявляється зручнішою ніж попередня, бо не вимагає перевірки нерівності .

Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл .

Знайдемо границю

Оскільки розбігається, то і заданий інтеграл розбігається.

Розглянуті ознаки діють лише при невід’ємних підінтегральних функціях. Якщо ж підінтегральна функція знакозмінна, то в деяких випадках збіжність інтеграла можна встановити за допомогою наступної достатньої ознаки:

Теорема. Якщо збігається інтеграл , то збігається і інтеграл.

В цьому разі інтеграл називаютьабсолютно збіжним.

Підкреслимо, що дана теорема встановлює достатню, але не необхідну умову збіжності. Тобто для збіжного інтеграла інтегралможе виявитися розбіжним. В такому разі інтегралназиваютьумовно (або неабсолютно) збіжним. Отже дана теорема дозволяє виявляти абсолютну збіжність інтеграла від знакозмінної функції, користуючись ознаками збіжності інтегралів від невід’ємних функцій .

Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл . Тут підінтегральна функція знакозмінна. Оцінимо її абсолютну величину:Оскільки інтеграл збігається (тому що ), то збігається і заданий інтеграл (при чому абсолютно).

Як уже сказано вище, для знакозмінної підінтегральної функції розглянута ознака виявляє лише абсолютну збіжність інтеграла. Якщо абсолютної збіжності немає, то подальше дослідження інтеграла вимагає застосування більш тонких ознак, які тут не розглядаються.

25. Невластивий інтеграл від необмеженої функції

Означення. Нехай функція визначена в проміжку. Точкубудемо називатиособливою точкою функції , якщоне обмежена при.

Нехай функція інтегровна на будь-якому відрізку вигляду, деі. Тоді, якщо існує скінченна границя, то ця границя називаєтьсяневластивим інтегралом від необмеженої функції по проміжку і позначається. Таким чином, якщо границя в правій частині існує іскінченна. В цьому випадку кажуть , що невластивий інтегралзбігається.

Рис. 21

В противному разі інтегралне існує аборозбігається і жодного числового значення не має.

Цілком аналогічно визначається невластивий інтеграл від необмеженої функції, коли особлива точка розташована на лівому кінці проміжку інтегрування, тобто в точці :

.

Якщо ж функція має особливу точку всередині проміжка, то за означеннямпри умові збіжності обох інтегралів у правій частині.

Приклади. Обчислити невластиві інтеграли або довести їх розбіжність.

а) . Тут особлива точкатому щоі підінтегральна функція необмежена в околі цієї точки.

інтеграл збігається.

б) . Приособливої точки немає, приособливою точкою є точка.

Якщо , то.

Таким чином заданий інтеграл збігається при і розбігається при.