3. Заміна змінної в невизначеному інтегралі (метод підстановки)

Суть цього методу полягає в переході до нової змінної інтегрування з метою привести заданий інтеграл до «табличного вигляду», тобто до вигляду, що уможливлює безпосереднє інтегрування.

Теорема. Якщо , а- диференційовна функція, то

.

Справді, тобтоє первісною для.

Таким чином будь-яка формула інтегрування зберігає силу, якщо в ній змінну інтегрування замінити диференційовною функцією від нової змінної. Зазвичай дана теорема використовується одним з двох способів:

1. Заданий інтеграл намагаються подати у вигляді , де для функціївідома первісна, тоді. Цей спосіб називають «впровадження під знак диференціала»:.

Приклад. Знайти інтеграл

.

г) Заданий інтеграл подають у вигляді, де функціямає оберненуі для функціївідома первісна. Тоді

.

Цей спосіб можна назвати «виведення з під знака диференціала»: .

Приклад. Знайти інтеграл

4.Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі

Нехай функції і диференційовні в деякому проміжку. Тоді , звідки . Інтегруючи почленно, отримаєм

, або

. (1)

Ця формула має назву «формула інтегрування частинами». Вона дозволяє звести обчислення інтеграла до обчислення інтеграла. Застосування цієї формули доцільне в тих випадках, коли інтегралє «простішим» порівнянно з. Відповідне рoзбиття підінтегрального виразу на множникиівимагає певного навику. Можна вказати два типи найбільш часто вживаних інтегралів, які можуть бути обчислені інтегруванням частинами:

а) Інтеграли вигляду ,,де- многочлен. В цих інтегралах треба брати, а, або, або.

б) Інтеграли вигляду ,,. В цих інтегралах береться , .

В процесі інтегрування частинами доводиться знаходити функцію за її диференціалом тобто. При цьому довільну сталу вважають рівною нулю, бо на остаточний результат вона не впливає.

Іноді інтегрування частинами доводиться виконувати повторно.

Приклади. Знайти невизначені інтеграли.

а)

б)

5. Інтегрування раціональних функцій

Нагадаємо, що раціональною функцією або раціональним дробом називається відношення многочленів:

де - многочлен степеня, а- многочлен степеня. Якщо, то раціональний дріб називаєтьсяправильним, в противному разі -неправильним. З неправильного раціонального дробу можна завжди виділити цілу частину (многочлен), подавши даний дріб у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу. Оскільки інтеграл від многочлена обчислюється безпосереднім інтегруванням, то задача інтегрування будь-якої раціональної функції зводиться до інтегрування правильного раціонального дробу.

Раніше було показано, що правильний раціональний дріб завжди можна розкласти на суму простих дробів чотирьох типів. В результаті інтеграл від правильного раціонального дробу подається у вигляді суми інтегралів від простих дробів і таким чином обчислення інтеграла від раціональної функції зводиться до обчислення інтегралів від простих дробів.

Розглянемо ці інтеграли.

1. Простий дріб 1 типу:

.

2. Простий дріб 2 типу:

.

3. Простий дріб 3 типу:

Зазначимо, що тут тричлен не має дійсних коренів, тому його дискримінанта значить.

4. Простий дріб 4 типу:

Щоб завершити обчислення інтеграла потрібно обчислити інтеграл у правій частині. Для цього існує формула зниження степеня (рекурентна формула):

Повторне застосування цієї формули приводить кінець кінцем до інтеграла , який обчислюється як показано вище.

Таким чином кожен простий дріб має первісну, яка виражається в скінченному вигляді через елементарні функції : раціональну функцію, логарифм і арктангенс. Це означає, що будь-яка раціональна функція за встановленим алгоритмом інтегрується в елементарних функціях. Якщо підінтегральна функція не є раціональною, але можна вказати підстановку, яка приводить заданий інтеграл до інтеграла від раціональної функції, то цим задача обчислення інтеграла цілком розв’язується (інтеграл, як кажуть, «раціоналізується»).

Приклад. Знайти інтеграл .

Під знаком інтеграла правильний раціональний дріб, розкладемо його в суму простих дробів

.

Зведемо праву частину до спільного знаменника і прирівняємо чисельники лівої і правої частини:

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , отримуємо систему рівнянь

.

Розв’язок цієї системи .

Тоді