- •Інтегральне числення функцій однієї змінної (конспект лекцій)
- •Таблиця інтегралів
- •Заміна змінної в невизначеному інтегралі (метод підстановки)
- •4.Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі
- •Інтегрування раціональних функцій
- •Інтегрування деяких ірраціональних функцій
- •7. Інтегрування деяких виразів, що містять тригонометричні функції
- •8. Використання таблиць інтегралів
- •9. Поняття про інтеграли, що не виражаються через елементарні функції
- •10. Приклади задач, що приводять до поняття визначеного інтеграла
- •2)Задача про шлях точки у прямолінійному русі.
- •11. Означення визначеного інтеграла
- •12. Основні властивості визначеного інтеграла
- •13. Інтеграл як функція верхньої межі. Формула Ньютона-Лейбніца
- •14. Метод заміни змінної у визначеному інтегралі
- •15. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •16. Загальна схема застосування визначеного інтеграла
- •17. Обчислення площі плоскої фігури
- •18. Обчислення довжини дуги
- •19. Обчислення об’єму тіла
- •20. Обчислення площі бічної поверхні тіла обертання
- •21. Обчислення роботи змінної сили
- •22. Обчислення сили тиску рідини на вертикальну пластину
- •23. Невластивий інтеграл по нескінченному проміжку
- •24. Ознаки збіжності невластивого інтеграла по нескінченному проміжку
- •25. Невластивий інтеграл від необмеженої функції
- •26. Ознаки збіжності невластивого інтеграла від необмеженої функції
- •27. Наближене обчислення визначених інтегралів
2)Задача про шлях точки у прямолінійному русі.
Нехай точка рухається по прямій з швидкістю . Потрібно знайти шлях, пройдений точкою за проміжок часу, тобто від моментудо моменту .
Розіб’ємо проміжок часу від дона частинних проміжків часу моментами
.
Тривалість -го часового проміжку позначимоі в кожному такому проміжку оберемо по одному значенню . Якщо розбиття проміжку достатньо дрібне, то швидкість точки на-ому частинному проміжку можна наближено вважати сталою, рівною, а шлях, пройдений за цей проміжок часу , наближено рівним. Сума цих «частинних» шляхів дасть наближене значення всього шляху, пройденого точкою за проміжок часу:
.
Точність цієї формули збільшується із зменшенням усіх величин ,
отже при необмеженому подрібненні розбиття, тобто при переході до границі
при , отримуємо .
.
11. Означення визначеного інтеграла
В попередньому пункті розглянуто дві задачі, взяті з різних галузей знання – одну з геометрії, іншу з фізики. Якщо абстрагуватися від конкретного змісту цих задач і зосередити увагу на їх аналітичній структурі, то бачимо , що в цьому сенсі вони цілком однакові. В обох випадках розв’язання задачі вимагає обчислення границі деякої суми цілком певної будови. Таку ж аналітичну структуру має величезна кількість задач, які виникають у різних галузях науки, техніки, економіки і взагалі людської діяльності. Виникає потреба у створенні спеціального математичного апарату для розв’язання подібних задач. Таким апаратом є визначений інтеграл.
Означення. Нехай на відрізку задана обмежена функція . Розіб’ємо відрізок на частинних відрізків точками
.
На кожному відрізку розбиття візьмемо довільно точкуі позначимо, де . Побудуємо суму , яку будемо називатиінтегральною сумою для функції на відрізку . Очевидно, що інтегральна сума залежить від способу розбиття відрізка і від вибору проміжних точок .
Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при (тобто при необмеженому подрібненні розбиття відрізка ) і ця границя не залежить ні від способу розбиття, ні від вибору проміжних точок , то ця границя називаєтьсявизначеним інтегралом функції на відрізку і позначається
.
Тоді функція називаєтьсяінтегровною на відрізку , числа іназиваються відповіднонижньою і верхньою межами інтегрування, відрізок - проміжком інтегрування.
Повертаючись до задач попереднього пункту , доходимо висновку, що
а) площа криволінійної трапеції, обмеженої прямими,,і графіком функції, дорівнює визначеному інтегралу від цієї функції:(геометричний зміст визначеного інтеграла); якщо , то отримуємо відповідну площу із знаком мінус;
б) шлях , пройдений точкою за проміжок часу від до , дорівнює визначеному інтегралу від швидкості:(фізичний зміст визначеного інтеграла).
Зауважимо, що визначений інтеграл є числом, яке не залежить від позначення змінної інтегрування, тобто і т.д.
Виникає питання про умови, при яких визначений інтеграл існує.
Теорема (достатня умова існування визначеного інтеграла). Якщо функція неперервна на відрізку , то вона інтегровна на цьому відрізку, тобто інтеграл існує.
Ця умова є лише достатньою, тобто інтегровними можуть бути і деякі функції з точками розриву на проміжку інтегрування, але ми в подальшому вважатимемо підінтегральні функції неперервними, якщо не обумовлено протилежне.