15. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Теорема. Якщо функції і мають неперервні похідні на відрізку , то ,

або коротше .

Оскільки функція є первісною для функції , то за формулою Ньютона-Лейбніца

.

Звідси на підставі властивості лінійності визначеного інтеграла отримуємо

,

що й треба було довести. Ця формула називається формулою інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Приклади. 1) Обчислити

Покладемо ,,. Тоді

.

2. Обчислити

16. Загальна схема застосування визначеного інтеграла

В багатьох задачах геометричного і фізичного змісту шукана величина може бути подана як приріст деякої функції на заданому відрізку , тобто як . Згідно з формулою Ньютона-Лейбніца

Отже для обчислення величини такого типу необхідно знайти вираз диференціала відповідної функції і проінтегрувати його на відрізку . Диференціал з точністью до нескінченно малих вищого порядку дорівнює приросту на малому («елементарному») відрізку , тобто малій частинці («елементу») шуканої величини. Тому такий підхід до застосування інтеграла в практичних задачах називають іноді методом «вилучення елемента». В подальшому ми розглянемо використання цього методу на прикладах ряду конкретних задач.

Існує і інший підхід до розв’язання аналогічних задач. Він полягає в тому, що шукану величину наближено виражають у вигляді інтегральної суми для деякої функції і деякого розбиття відрізка. В міру подрібнення розбиття точність цього виразу зростає, і в границі він прямує до точного значення шуканої величини, тобто до інтеграла . Це так званий «метод інтегральних сум».

Прикладом його застосування може служити задача про площу криволінійної трапеції, розглянута раніше як одна з задач, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

Надалі при розгляді прикладів застосування інтеграла ми користуватимемося методом вилучення елемента.

17. Обчислення площі плоскої фігури

1) Плоска фігура, обмежена лініями, рівняння яких задані в декартовій системі координат.

Р

Рис. 4

озглянемо фігуру, обмежену графіками функційіі прямимиі. Площацієї фігури дорівнює різниці площ криволінійних трапеційі, отже

Якщо значення іне задані, то межі інтегрування визначаються як абсциси точок перетину лінійі.

Приклад. Обчислити площу, обмежену параболами і.

Знайдемо точки перетину цих кривих. Координати цих точок задовольняють рівняння обох парабол, тобто систему

Віднімаючи від другого рівняння

Рис. 5

рівняння перше, одержимо або.

Рис. 5

Звідси,. Тоді

Рис. 5

=

Рис. 3

2) Плоска фігура, обмежена лініями, рівняння яких задані в полярній системі координат.

Розглянемо спочатку криволінійний сектор, тобто фігуру, обмежену променями іі кривою, де- неперервна функція (див. рис. 6).

Рис. 6

Візьмемо довільне значенняі відповідний йому промінь. Розглянемо площу тієї частини криволінійного сектора, яка розташована між променемі променем, що відповідає обраному значенню. Кожномувідповідає певне значення цієї площі, тобто ці площа є функція від, задана на. Позначимо її. При цьому, а, де- площа всього криволінійного сектора. Таким чином

Приріст на малому відрізку зображується площею заштрихованого на рисунку сектора, а ця площа з точністю до нескінченно малих вищого порядку дорівнює площі кругового сектора радіуса з центральним кутом : + нескінченно малі вищого порядку.

Тоді , а площа даного криволінійного сектора виражається формулою .

Тепер розглянемо загальніший випадок, коли фігура обмежена променями і та лініями і . (див. рис. 7, фігура ). Функціїі гадаються неперервними. Площа заданої фігури дорівнює очевидно різниці площ криволінійних секторіві:

Рис. 7

Об’єднуючи інтеграли в правій частині, одержуємо формули для площі заданої фігури:

.

Приклади: а) Знайти площу, обмежену кардіоїдою .

Рис. 8

Внаслідок симетрії шукана площадорівнює подвоєній площікриволінійного сектора (заштрихований на рисунку), обмеженого променямиіта кривою. Тоді

Рис. 8

Рис. 9

б) Знайти площу частини фігури, обмеженої кардіодою , яка лежить зовні кола. Внаслідок симетрії шукана площадорівнює подвоєній площіфігури, обмеженої променямиіта кривимиі. Тоді