Ответы на тестовые задания

Номер теста	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Правильный ответ	3	5	1	2	3	4	3	5	2

Номер теста	10	11	12	13	14	15	16
Правильный ответ	4	4	4	4	3	4	4

1.6. Комплексные числа

Комплексным числом zназывается выражение видаz=а+bi, гдеаиb– действительные числа, i –мнимая единица,i²= –1.

Если а= 0, то число 0 +bi=biназываетсячисто мнимым; еслиb = 0, то число а + 0i = а отождествляется с действительным числом а.

Таким образом, множество Rвсех действительных чисел является подмножеством множестваСвсех комплексных чисел, т. е.R  С.

Для комплексного числа z=a+biчислоаназываетсядействительной частьюкомплексного числаzи обозначаетсяа=Rez, а числоb–мнимой частьюкомплексного числаzи обозначаетсяb=Imz.

Пример 1.Для комплексного числаzопределитьRezиImz:

а) z = 2 + 5i;

б) z = 1 – 3i;

в) z= 2;

г) z= 5i;

д) z = i.

Решение

а) Rez= 2,Imz= 5;

б) так как z= 1 – 3i= 1 + (–3)i, тоRez= 1,Imz= –3;

в) так как z= 2 = 2 + 0i, тоRez = 2,Imz= 0;

г) так как z= 5i= 0 + 5i, тоRez= 0,Imz= 5;

д) так как z=i= 0 + 1i, тоRez= 0,Imz= 1.

Тест 1.Мнимая частьImzкомплексного числаz= 5 + 4iравна:

1) 9;

2) 5;

3) 4;

4) (–4);

5) 1.

Тест 2.Мнимая частьImzкомплексного числаz = 7 –iравна:

1) 7;

2) 1;

3) 0;

4) (–1);

5) (–7).

Тест 3. Действительная часть Rez комплексного числа z = –4i равна:

1) –4;

2) 0;

3) 4;

4) 1;

5) (–1).

Два комплексных числа z₁=а₁+b₁iиz₂=а₂+b₂iназываютсяравнымитогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части, т. е.а₁=а₂,b₁=b₂. В частности, комплексное числоz=а+biравно нулю тогда и только тогда, когдаа=b= 0.

Пример 2.Указать, какие из комплексных чисел являются равными:z₁= 2 + 3i;z₂= 2 + 5i;z₃= 1 + 3i;z₄= –1 + 3i;z₅= 2 + 3i.

Решение

Среди данных комплексных чисел выбираем сначала те, которые имеют равные действительные части: z₁,z₂,z₅. Так как при этомImz₁= =Imz₅= 2,Imz₂= 5, то равными являются комплексные числа z₁иz₅.

Ответ: z₁=z₅.

Тест 4. Даны комплексные числа: z₁ = 2 + 3i; z₂ = 4 – i; z₃ = 3 + 2i; z₄ = –4 + i; z₅ = 4 + i; z₆ = 4 – i; z₇ = 2 – 3i; z₈ = 4 – i; z₉ = 3 – 2i. Среди них равными являются:

1) z₁ = z₃ = z₇ = z₉;

2) z₇ = z₉;

3) z₂ = z₅ = z₆ = z₈;

4) z₂ = z₄;

5) z₂ = z₆ = z₈.

Два комплексных числа z=а+biи=а–bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называютсясопряженными.

Пример 3. Указать число, сопряженное к комплексному числу z = 7 – i.

Решение

Сопряженным к данному комплексному числу будет комплексное число = 7 +i.

Ответ: = 7 +i.

Тест 5. Указать число, сопряженное к комплексному числу z = 2 + 3i:

1) = 2 – 3i;

2) = –2 – 3i;

3) = –2 – 3i;

4) = 2 + 3i;

5) = 3 + 2i.

Тест 6. Указать число, сопряженное к комплексному числуz= 3i:

1) = 3i;

2) = 0;

3) = –3i;

4) = 1;

5) = –1.

Запись числа zв видеz=а+biназываетсяалгебраической формойкомплексного числа.

Рассмотрим действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Если z₁=а+bi,z₂=с+di, то

z₁+z₂= (а+bi) + (с+di) =а +bi+с+di= (а+с) + (b+d)i; (1)

z₁–z₂= (а+bi) – (с+di) =а+bi–с–di= (а–с) + (b–d)i. (2)

Пример 4.Даны два комплексных числаz₁= 2 +iиz₂= 4 – 3i. Найти их сумму и разность.

Решение

В соответствии с формулами (1), (2) при а= 2,b= 1,с= 4,d= –3 получаем

z₁ + z₂ = (2 + i) + (4 – 3i) = 2 + i + 4 – 3i = (2 + 4) + (1 – 3)i = 6 – 2i;

z₁ – z₂ = (2 + i) – (4 – 3i) = 2 + i – 4 + 3i = (2 – 4) + (1 + 3)i = –2 + 4i.

Ответ: 6 – 2i; –2 + 4i.

Тест 7.Сумма комплексных чиселz₁= 1 +iиz₂= 2 – 2iравна:

1) 4 – i;

2) 3 – i;

3) 5 + i;

4) 5;

5) 3 + i.

Тест 8. Разность комплексных чиселz₁= 3 +iиz₂= 4 – 2iравна:

1) –1 – i;

2) 1+ i;

3) 1 – 3i;

4) –1 + 3i;

5) 1 – i.

Рассмотрим плоскость с декартовой прямоугольной системой координат Оxy. Всякое комплексное числоz=a+biможно изобразить точкойМ(a;b) на плоскостиОxyтакой, чтоа=Rez,b=Imz. И, наоборот, каждую точкуМ(a;b) координатной плоскостиОxyможно рассматривать как образ комплексного числаz = a+bi(рисунок 20).

Рисунок 20

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называетсякомплексной плоскостью. Ось абсцисс называетсядействительной осью, так как на ней изображены действительные числаz = a+0i=а. Ось ординат называетсямнимой осью, так как на ней изображены чисто мнимые комплексные числаz= 0 +bi=bi.

Пример 5. На комплексной плоскости изобразить числоz= 2 – 3i.

Решение

Для данного комплексного числа а=Rez= 2,b=Imz= –3. На координатной плоскостиОxy(рисунок 21) числоz= 2 – 3iизображается точкойМ(2; –3).

Рисунок 21

Комплексное число z = а + bi, заданное в алгебраической форме,можно представить и в другом виде. Изобразим число z точкой М(а;b) комплексной плоскости. Рассмотрим радиус-векторэтой точки (рисунок 22).

Рисунок 22

Тест 9. Указать, на какой комплексной плоскости точка М является изображением комплексного числа z = –5 + 2i:

1) 2) 3)

4) 5)

Тест 10. Указать, на какой комплексной плоскости точкаМявляется изображением комплексного числа z = –2i:

1) 2) 3)

4) 5)

Модулем комплексного числа z = а + bi называется длина радиуса-вектора точкиМ(а; b), изображающей данное число.

Обозначение: илиr.

Из прямоугольного треугольника ОМа(рисунок 22) по теореме ПифагораСледовательно,илиr

Пример 6.Найти модуль комплексного числаz= 1 – 3i.

Решение

Для данного комплексного числа а= 1,b= –3. Следовательно,

= =

Ответ: .

Тест 11.Модуль комплексного числаz= 4 + 3iравен:

1) 25;

2) 5;

3) 7;

4) 49;

5) 24.

Тест 12.Модуль комплексного числаz= –iравен:

1) –1;

2) 0;

3) 1;

4) 2;

5) 5.

Тест 13.Модуль комплексного числаz= 4 равен:

1) –1;

2) 0;

3) 1;

4) 4;

5) 2.

Аргументом комплексного числа z=а+biназывается величина угла φ (рисунок 22) между положительным направлением действительной осиОхи векторомr, изображающим комплексное число. Обозначение:аrgzили φ.

Аргумент (главное значение аргумента) комплексного числа заключен в промежутке [0; 2π).

Множество аргументов числа zобозначаетсяАrgzиАrgz=аrgz+ + 2πk,k Z.

С помощью модуля rи аргумента φ комплексное числоz=а+biможно представить в другом виде. Так кака=r cos φ,b=r sin φ (рисунок 22), тоz=а+bi=rcos φ +rsin φiилиz=r(cos φ +i sin φ), где

r = (3)

cos φ = , sin φ = . (4)

Запись числа z=а +biв видеz=r(cos φ +i sin φ), гдеr– модуль, а φ – аргумент числаz, называетсятригонометрической формой комплексного числаz.

Пример 7.Представить комплексное числоz= –1 +iв тригонометрической форме.

Решение

z = –1 + i – алгебраическая форма комплексного числа z, приэтома= = –1,b= 1. Применяя формулы (3), (4), находимr=== cos φ = sin φ =

Так как cos φ = sin φ =и φ[0; 2π), то φ =Следовательно, тригонометрическая форма данного числаzимеет вид

z=

Ответ: z=

Тест 14. Тригонометрическая форма комплексного числа z = =имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 15.Тригонометрическая форма комплексного числаz= –1 имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Два комплексных числа z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) и z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂),заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π, т. е.z₁=z₂r₁=r₂, φ₁= φ₂+ 2 πk,k Z.

Пример 8.Указать, какие из комплексных чисел являются равными:z₁=z₂=

z₃=z₄=

Решение

Среди данных комплексных чисел выбираем сначала те, которые имеют равные модули: z₁, z₃, z₄. Так как φ₁=φ₃=φ₄=то равными являются комплексные числаz₁иz₃.

Ответ: z₁=z₃.

Тест 16.Даны комплексные числаz₁=z₂= =z₃=z₄== 4+Среди них равными являются:

1) z₁ = z₂;

2) z₁ = z₃;

3) z₁ = z₄;

4) z₂ = z₃;

5) z₃ = z₄.

Формула Эйлера имеет следующий вид:

(5)

Данная формула может быть записана в виде

(6)

Из формул (5) и (6) следует

сos .

Используя формулу (5), комплексное число z=r(cos φ +i sin φ) можно записать в видеz=rе^iφ, называемомпоказательной(или экспоненциальной) формойкомплексного числаz.

Пример 9. Представить комплексное число z = i sinв показательной форме.

Решение

z=+i sin– тригонометрическая форма комплексного числаz, при этомr=, φ =

Поэтому показательная форма данного числа z имеет видz=e

Ответ: z=e

Тест 17.Показательная форма комплексного числаz= 2+ +i sinимеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 18. Показательная форма комплексного числаz= –1 +iимеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)