- •Белкоопсоюз
- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2.9. Определенный интеграл
- •2.10. Кратные интегралы
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.12. Ряды
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.1. Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат
- •Ответы на тестовые задания
- •Прямая линия
- •Ответы на тестовые задания
- •Кривые второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Парабола
- •Ответы на тестовые задания
- •1.2. Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Векторный базис на плоскости и в пространстве
- •Скалярное произведение векторов
- •Операции над векторами в координатной форме
- •Ответы на тестовые задания
- •1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве r3
- •Ответы на тестовые задания
- •1.4. Матрицы
- •Ответы на тестовые задания
- •1.5. Системы линейных уравнений и неравенств
- •Ответы на тестовые задания
- •1.6. Комплексные числа
- •Ответы на тестовые задания
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.1. Числовая последовательность и ее предел Действительные числа. Числовые множества
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- •Ответы на тестовые задания
- •2.2. Предел функции одной переменной
- •Ответы на тестовые задания
- •2.3. Непрерывные функции одной переменной
- •Критерий непрерывности функции
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Ответы на тестовые задания
- •2.4. Производная и дифференциал функции одной переменной Определение и геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования и таблица производных
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Дифференцирование неявных функций
- •Производная высших порядков
- •Применение производной в экономике
- •Дифференциал функции
- •Ответы на тестовые задания
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма
- •Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа
- •Теорема Коши
- •Правило Лопиталя
- •Ответы на тестовые задания
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления Четность, нечетность и периодичность функции
- •Условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Ответы на тестовые задания
- •2.7. Функции нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных
- •Решение
- •Решение
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные и дифференциал функции
- •Решение
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Решение
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению. Градиент
- •Решение
- •Решение
- •Необходимые условия экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Решение
- •Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум)
- •Решение
- •Эмпирические формулы
- •Решение
- •Ответы на тестовые задания
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Интегрирование способом подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Ответы на тестовые задания
- •2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения при помощи определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла в экономике
- •Вычисление дуги кривой при помощи определенного интеграла
Асимптоты графика функции
Существуют различные точки зрения на понятие асимптоты.
Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика функции при неограниченном удалении от начала координат.
Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая обладающая тем свойством, что расстояние от точкиM(x; f(x)) графика до этой прямой при удалении точкиM(x; f(x)) в бесконечность стремится к нулю (рисунок 37).
Из определения следует, что асимптоты могут существовать только у графиков функций, имеющих сколь угодно далекие точки («неограниченные» кривые).
а) б)
в)
Рисунок 37
Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, наклонные и горизонтальные.
На рисунке 37а изображена вертикальная асимптота, на рисунке 37б – горизонтальная асимптота, а на рисунке 37в – наклонная.
Этими тремя случаями исчерпываются все возможные расположения асимптот.
Нахождение асимптот графика функции y = f(x) основано на утверждениях, представленных ниже.
Теорема 7. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х х0 – 0 (слева) или при х х0 + 0 (справа) равен бесконечности, т. е. f(x) = или f(x) = . Тогда прямая x = x0 является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x).
Вертикальные асимптоты x = x0 следует искать в точках разрыва функции y = f(x) или на концах ее области определения (a; b), если a и b – конечные числа.
Теорема 8. Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших и существует конечный предел функцииf(x) = b. Тогда прямая y = b есть горизонтальная асимптота графика функции y = f(x).
Замечание. Если пределы f(x) = b и f(x) = b1 – конечные и различные, то прямые y = b и y = b1 будут горизонтальными асимптотами (правосторонней и левосторонней).
Может оказаться, что только один из этих двух пределов конечен, тогда будет одна горизонтальная асимптота.
В том случае, если f(x) = , функция может иметь наклонную асимптоту.
Теорема 9. Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших x и существуют конечные пределы и(f(x) – kx) = b. Тогда прямая являетсянаклонной асимптотой графика функции y = f(x).
Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.
Пример 5. Найти асимптоты графика функции f(x)
Решение
Функция непрерывна всюду, кроме точки х = 1, в которой она терпит разрыв второго рода, причем Отсюда следует, что прямая х = 1 – вертикальная асимптота и других вертикальных асимптот нет.
Проверим, есть ли у графика функции наклонные асимптоты. Находим откуда
Таким образом, прямая у = х – наклонная асимптота графика функции при х +. Аналогично получим, что эта прямая является наклонной асимптотой и при х –.
Поскольку угловой коэффициент k наклонной асимптоты не равен нулю, то график функции не имеет горизонтальных асимптот.
Тест 8. Горизонтальной асимптотой графика функции f(x)является прямая:
1) x = 3;
2) y = –3;
3) x = 5;
4) y = 9;
5) y = 1.