- •Белкоопсоюз
- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2.9. Определенный интеграл
- •2.10. Кратные интегралы
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.12. Ряды
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.1. Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат
- •Ответы на тестовые задания
- •Прямая линия
- •Ответы на тестовые задания
- •Кривые второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Парабола
- •Ответы на тестовые задания
- •1.2. Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Векторный базис на плоскости и в пространстве
- •Скалярное произведение векторов
- •Операции над векторами в координатной форме
- •Ответы на тестовые задания
- •1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве r3
- •Ответы на тестовые задания
- •1.4. Матрицы
- •Ответы на тестовые задания
- •1.5. Системы линейных уравнений и неравенств
- •Ответы на тестовые задания
- •1.6. Комплексные числа
- •Ответы на тестовые задания
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.1. Числовая последовательность и ее предел Действительные числа. Числовые множества
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- •Ответы на тестовые задания
- •2.2. Предел функции одной переменной
- •Ответы на тестовые задания
- •2.3. Непрерывные функции одной переменной
- •Критерий непрерывности функции
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Ответы на тестовые задания
- •2.4. Производная и дифференциал функции одной переменной Определение и геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования и таблица производных
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Дифференцирование неявных функций
- •Производная высших порядков
- •Применение производной в экономике
- •Дифференциал функции
- •Ответы на тестовые задания
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма
- •Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа
- •Теорема Коши
- •Правило Лопиталя
- •Ответы на тестовые задания
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления Четность, нечетность и периодичность функции
- •Условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Ответы на тестовые задания
- •2.7. Функции нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных
- •Решение
- •Решение
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные и дифференциал функции
- •Решение
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Решение
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению. Градиент
- •Решение
- •Решение
- •Необходимые условия экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Решение
- •Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум)
- •Решение
- •Эмпирические формулы
- •Решение
- •Ответы на тестовые задания
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Интегрирование способом подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Ответы на тестовые задания
- •2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения при помощи определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла в экономике
- •Вычисление дуги кривой при помощи определенного интеграла
Интегрирование способом подстановки
Суть этого метода заключается в следующем: так преобразовать подынтегральное выражение, чтобы полученный интеграл стал табличным или более простым.
Если – любой из известных нам интегралов, то вместо переменнойв левую и правую части записанного равенства мы можем подставить другую переменнуюu = (x), являющуюся дифференцируемой функцией от x. При этом также получим истинное равенство илиНаdu будем смотреть как на дифференциал функции u = j(x), который будем вычислять по формуле
Пример 3. Найти неопределенный интеграл
Решение
Введем новую подстановку, положив u = 5x + 4, du = (5x +4)dx = = 5dx, Внеся эти выражения в данный интеграл и сделав обратную замену, получим
Тест 3. Найти неопределенный интеграл
1)
2)
3)
4)
5)
Пример 4. Определить число в интеграле
Решение
Вычислим интеграл в левой части этого равенства, положив u = 3x.
Тогда откудаи
= Отсюда
Тест 4. Определить число в интеграле
1)
2)
3)
4)
5)
Пример 5. Среди множества всех первообразных в неопределенном интеграле найти такую первообразнуюF(x), что
Решение
Определим вначале значение этого интеграла
4–2+С.
Среди множества всех первообразных выберем такую, которая удовлетворяет условию Должно выполняться равенствооткудаC = 9.
Тест 5. Среди множества всех первообразных в неопределенном интеграле найти такую первообразнуюF(х), что F(4) = 6:
1)
2)
3)
4)
5)
Интегрирование по частям
Теорема. Пусть функции u и v определены и дифференцируемы на некотором отрезке [a; b], тогда имеет место равенство
Данная формула называется формулой интегрирования по частям.
Пример 6. Найти неопределенный интеграл
Решение
Полагаем: u = ln x, тогда илиотсюдаилиПо формуле интегрирования по частям имеем
Тест 6. Найти неопределенный интеграл
1)
2)
3)
4)
5)
Ответы на тестовые задания
Номер теста |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Правильный ответ |
2 |
2 |
3 |
5 |
4 |
1 |
2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f(x) задана на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n произвольных частей точками
Точки, разделяющие отрезок [a; b] на частичные отрезки длинойбудем называтьточками разбиения. Выберем в каждом из частичных отрезков [xi; xi+1] произвольную точку i, i =
Образуем сумму произведений
которую будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a; b]. Геометрический смысл величины показан на рисун- ке 47: это сумма площадей прямоугольников с основанием и высотами
Рисунок 47
Обозначим через длину максимального частичного отрезка данного разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки, т. е.
Конечный предел I интегральной суммы при0, если он существует, называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a; b]:
(1)
Определенный интеграл обозначается при помощи символа
Если определенный интеграл (1) существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b], числа а и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.
Связь между определенным и неопределенным интегралами устанавливает формула Ньютона-Лейбница
|=
где F(x) – одна из первообразных для подынтегральной функции f(x).
Пример 1. Найти определенный интеграл
Решение
Находим неопределенный интеграл, полагая C = 0. Имеем
Вычисляем приращение найденной первообразной
|=
Краткая запись: |=
Тест 1. Найти определенный интеграл
1)
2)
3)
4)
5) 43.