Решение
По формуле градиента
При х = 0 и у = 1 получаем
Тест 12.
Градиент
функции
в точкеА(1;
1) равен:
1)
2)
3)
4)
5)
Дифференцирование сложных и неявных функций
Случай одной независимой переменной
Предположим, что
z
= f(x;
y)
– дифференцируемая функция двух
переменных x
и y
в некоторой области D,
а аргументы x
и y
являются дифференцируемыми
функциями некоторой переменной t,
т. е. x
= x(t),
Тогда
– функция одной переменнойt.
Теорема. Имеет место равенство
Если
совпадает с одним из аргументов, скажем,t
= x,
то
и
называется
полной производной функции z
по x.
Случай нескольких независимых переменных
Если
аргументы x
и y
функции z
= f(x;
y)
являются
функциями двух переменных, скажем, x
= x(u;
v),
y
= y(u;
v),
то
также является функцией двух переменных
иv.
Теорема. Имеют место формулы
и
Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных.
Дифференциал сложной функции
Дифференциал сложной функции z = z(x; y), где x = x(u; v), y = y(u; v), можно получить, если в формуле дифференциала
заменить
и
В результате подстановки и перегруппировки членов при du и dv приходим к формуле
показывающей, что форма (вид) дифференциала не зависит от того, являются ли x и y независимыми переменными или функциями других независимых переменных. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.
Неявная функция одной переменной
Функция
называетсянеявной
функцией,
если она определяется уравнением
неразрешенным относительноy.
Это значит, что
при каждом значении x0,
при котором неявная функция определена,
она принимает единственное значение
y0
так, что
Теорема.
Если F(x;
y)
– дифференцируемая функция
переменных
x
и y
в некоторой области
D
и
то уравнение F(x;
y)
= 0 определяет однозначно неявную функцию
y(x),
также дифференцируемую, и ее производная
находится по
формуле
В частности,
Неявная функция двух переменных
Функция z = z(x; y) называется неявной функцией переменных x и y, если она определяется уравнением F(x; y; z) = 0, неразрешенным относительно z.
Теорема.
Если функция F(x;
y;
z)
дифференцируема по переменным x,
y,
z
в некоторой пространственной области
D
и
то уравнениеF(x;
y;
z)
= 0 определяет однозначную неявную
функцию z(x;
y),
также дифференцируемую, и имеет место
Пример 18.
Найти
частные производные функции
гдеu
= 2x
+ 3y;
v
= xy.
Решение
Имеем
Пример 19.
Найти
полную производную функции
где
Решение
Имеем
Пример 20. Найти
производную функции y,
заданной неявно урав-
нением
Решение
Согласно формуле имеем
Пример 21.
Найти
частные производные функции z,
заданной неявно уравнением
Решение
Воспользуемся формулами. Получим
Тест 13. Частная
производная
функцииz,
заданной неявно
уравнением
равна:
1)
2)
3)
4)
5)
Экстремум функции двух переменных
Понятия максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной.
Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой области D, точка M0(x0; y0) D.
Функция z = f(x; y) имеет локальный максимум (минимум) в точке M0(x0; y0), если неравенство
имеет место во всех точках M(x; y), достаточно близких к M0(x0; y0), но отличных от нее.
Максимум или минимум функции называется экстремумом, а точки минимума и максимума функции называются точками локального экстремума.
В силу определения, точка локального экстремума функции лежит внутри области определения функции.
В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.