1.5. Аналитический способ сложения сил

Проекция равнодействующей сходящейся системы сил на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Пусть на тело действует система сил (F₁,…, F₄), при этом линии действия сил расположены в плоскости OXY (рис. 1.30).

Рис. 1.30

Их равнодействующая R = F₁ + … + F₄. Спроецируем составляющие векторы и их равнодействующую на ось OX. Очевидно F_1OX  0, F_2OX  0, F_3OX  0, F_4OX  0, R_OX  0.

Из рис. 1.30 видно, что R_OX = F_1OX + F_2OX + F_3OX + F_4OX. Для любой сходящейся системы сил (F₁,…, F_n), обозначая их равнодействующую через R, получим:

R_OX = Σ F_iOX;

R_OY = Σ F_iOY;

R_OZ = Σ F_iOZ.

Зная проекции R_OX, R_OY, R_OZ равнодействующей R на координатные оси, можно найти её модуль и направляющие косинусы.

= ;

cos(R, i) = R_OXR; cos(R, j) = R_OYR; cos(R, k) = R_OZR.

Для плоской сходящейся системы сил последние выражения приобретают вид:

R_OX = Σ F_iОX; R_OY = Σ F_iОY;

= ;

cos(R, i) = R_OXR; cos(R, j) = R_OYR.

Известно, что сходящаяся система сил уравновешивается только в том случае, если их равнодействующая равна нулю. Графически плоская сходящаяся система сил изображается замкнутым силовым многоугольником (рис. 1.31).

В

Рис. 1.31

общем случае

R = Σ F_i = 0.

В замкнутом силовом многоугольнике все силы направлены в одну сторону по обходу многоугольника.

Частный случай. Три сходящиеся силы уравновешиваются, если треугольник этих сил замкнут.

Л

Рис. 1.32

инии действия трёх непараллельных, взаимно уравновешивающихся сил, лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке (рис. 1.32).

Геометрическое условие равновесия сходящейся системы сил, расположенных в пространстве и на плоскости, одно и то же. Однако графический метод решения задач на равновесие сходящейся системы сил практически применяется только для плоской системы сходящихся сил.

1.6. Аналитические условия равновесия системы сходящихся сил

В случае если силы взаимно уравновешиваются, их равнодействующая равна нулю. Аналитически это выражается соответствующими уравнениями равновесия.

Для пространственной системы сходящихся сил уравнения равновесия имеют вид:

Σ F_iOX = 0; Σ F_iOY = 0; Σ F_iOZ = 0.

Для плоской сходящейся системы сил уравнения равновесия приводятся к виду:

Σ F_iOX = 0; Σ F_iOY = 0.

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из координатных осей системы отсчёта равнялись нулю.

При помощи этих уравнений можно решить задачи на равновесие сходящейся системы сил на плоскости и в пространстве.

1.7. Алгоритм решения задач статики

Как правило, в задачах статики по известным активным силам F_i^E требуется определить реакции R_i^E внешних связей, наложенных на механическую систему. Напомним, что активные силы и реакции связей относятся к разряду внешних сил. С учётом этого геометрическое условие равновесия внешних сил записывают в следующем виде

Σ F_i^E + Σ R_i^E = 0.

Для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма активных сил F_i^E и реакций внешних связей R_i^E, приложенных к этой системе, равнялась нулю.

При такой системе обозначений внешних сил аналитические условия равновесия пространственной сходящейся системы сил выражаются тремя уравнениями:

Σ+ Σ= 0;

Σ+ Σ= 0;

Σ+ Σ= 0.

Для равновесия механической системы, на которую наложены внешние связи, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций активных сил F_i^E и реакций внешних связей R_i^E на координатные оси системы отсчёта равнялись нулю.

Для плоской сходящейся системы сил имеем два уравнения:

Σ+ Σ= 0;

Σ+ Σ= 0.

Все задачи на равновесие внешних сил, приложенных к телу, решаются по следующему алгоритму.