2.7. Скорость точки
Скорость точки при естественном способе задания движения определяется по формуле
V
= τ·(dS/dt)
= τ·
,
где
dS/dt
=
– проекция скоростиV
на касательную.
Символ (·) означает однократное дифференцирование функции S = f(t) по времени.
Таким образом, проекция скорости на касательную равна первой производной по времени от уравнения движения S = f(t).
В
данном учебно-методическом пособии
проекцию скорости V
на касательную принято обозначать
.
Как известно, вектор V скорости точки всегда направлен по касательной к траектории движения.
Проекция скорости на касательную может быть положительной, отрицательной и равной нулю.
Если
в некоторый момент времени
> 0, то в этот момент функцияS
= f(t)
возрастает, т. е. точка движется в сторону
увеличения дуговой координаты S
и направление вектора скорости V
совпадает
с направлением орта τ
(см.
рис. 2.14).
Если
< 0, то в этот момент времени функцияS
убывает и, следовательно, направление
скорости V
противоположно
направлению орта τ.
Если,
непрерывно изменяясь,
при переходе через значение
= 0 изменяет знак, то дуговая координатаS
достигает максимума или минимума, т. е.
изменяется направление движения точки.
Модуль
скорости V
находят по формуле V
= |
|.
2.8. Ускорение точки
Ускорение а точки всегда направлено в сторону вогнутости траектории движения, лежит в соприкасающейся плоскости (см. рис. 2.14) и находится по формуле
a = аoτ + аon ,
где аoτ – касательное ускорение; аon – нормальное ускорение.
Ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали и называется нормальным ускорением, а другой направлен по касательной и называется касательным ускорением.
Касательное аoτ и нормальное аon ускорения называют также компонентами ускорения по естественным координатным осям.
Касательное ускорение аoτ характеризует быстроту изменения величины скорости V и находится по формуле
аoτ
=
τ·(d2S/dt2)
= τ·(
=τ·
,
где
=d2S/dt2
=
– проекция ускорения a
точки
на касательную.
Таким образом, проекция ускорения точки на касательную равна второй производной по времени от дуговой координаты S = f(t) или первой производной по времени от проекции скорости на касательную.
Символ (··) означает двойное дифференцирование функции S = f(t) по времени.
Из
приведённых обозначений проекций
ускорения на касательную, как правило,
используют обозначение
.
Эта
проекция (
)
имеет знак (+), если направления касательного
ускоренияаoτ
и
орта τ
совпадают,
и знак (–), если они противоположны по
направлениям.
Касательное ускорение аoτ характеризует быстроту изменения величины скорости.
Нормальное ускорение аon характеризует быстроту изменения направления скорости и находится по формуле
аon
= n·(
/ρ).
Так
как
/ρ
> 0, то нормальное ускорение всегда
совпадает с направлением орта n,
т. е. всегда направлено к центру кривизны
траектории движения точки.
При
прямолинейном движении точки радиус
кривизны траектории движения ρ =
и, следовательно,аon
=
/ρ
=
/
= 0.
Таким образом, нормальное ускорение существует только при криволинейном движении.
В случае естественного способа задания движения, когда известна траектория точки, а, следовательно, её радиус кривизны ρ в любой точке и уравнение движения S = f(t), можно найти проекции ускорения точки на естественные координатные оси и по ним определить модуль и направление ускорения по формулам:
a
=
;
cos(а,
i)
=
/
a;
cos(а,
n)
= (
/ρ)/
a.
Модули скорости и ускорения точки при естественном и координатном способах задания движения точки связаны следующими зависимостями:
V
= |
|
=
;
a
=
=
;
аoτ
= |
|.