4.12.1. Ортогональное центральное композиционное планирование
Критерием оптимальности является ортогональность столбцов матрицы планирования. В силу этого свойства все коэффициенты модели определяются независимо друг от друга.
Ортогональность столбцов х0 и хi2 достигается путем преобразования вида:
(4.34)
С учетом выражения (4.34) условие ортогональности выполняется:
Из условия ортогональности выбирают координату звездной точки для n - независимых переменных.
Таблица 4.8 соответствует ортогональному композиционному плану для количества переменных n=2,3,4 , где N - число звездных точек; N0 - число точек в центре эксперимента; Nc - количество точек куба (гиперкуба) при ПФЭ; N - общее число точек факторного пространства.
Таблица 4.8
|
n |
|
N |
N0 |
Nc |
N |
|
2 |
1,0 |
4 |
1 |
4 |
9 |
|
3 |
1,215 |
6 |
1 |
8 |
15 |
|
4 |
1,414 |
8 |
1 |
16 |
25 |
Составим
матрицу ортогонального планирования
для трехфакторного эксперимента. В
таблице 4.9
,
Таблица 4.9
|
Номер |
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
|
|
|
x1x2 |
x1x3 |
x2x3 |
x1x2x3 |
|
опыта |
z0 |
z1 |
z2 |
z3 |
z4 |
z5 |
z6 |
z7 |
z8 |
z9 |
z10 |
|
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
|
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
|
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
|
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
5 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
|
6 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
|
7 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
|
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
9 |
+1 |
-1,215 |
0 |
0 |
0,75 |
-0,73 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
10 |
+1 |
+1,215 |
0 |
0 |
0,75 |
-0,73 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
11 |
+1 |
0 |
-1,215 |
0 |
-0,73 |
0,75 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
12 |
+1 |
0 |
+1,215 |
0 |
-0,73 |
0,75 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
13 |
+1 |
0 |
0 |
-1,215 |
-0,73 |
-0,73 |
0,75 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
14 |
+1 |
0 |
0 |
+1,215 |
-0,73 |
-0,73 |
0,75 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
15 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-0,73 |
-0,73 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
0 |
где 1-8 опыт соответствует ПФЭ 23; 9-14 опыт соответствует звездным точкам; 15 опыт - центральная точка.
Анализ результатов экспериментов при ортогональном композиционном планировании имеет некоторые особенности. Так оценки коэффициентов уравнения регрессии находятся с неодинаковой дисперсией.
(4.35)
Знаменатель выражения (4.35) для разных коэффициентов различен. В формуле (4.35) Р - число параллельных опытов.
Уравнение регрессии для полного квадратичного полинома будет иметь вид:
, (4.36)
где
,n-
количество факторов.
Дисперсия
коэффициента
будет оцениваться по формуле:
(4.37)
Коэффициенты bi , bii и bij определяются по формулам:
,
,
где
u=
- число опытов;
,P-
число прогонов.
Проверку значимости коэффициентов можно провести по критерию Стьюдента
,
где
- дисперсия коэффициентаbi.
Проверка адекватности модели проводится по выше изложенной методике с помощью F-критерия Фишера.
Из-за неодинаковой дисперсии коэффициентов регрессии критерий ортогональности является недостаточно сильным критерием оптимальности для планирования второго порядка. Поэтому точность предсказания выходной величины в различных направлениях факторного пространства неодинакова.
Лучшим методом планирования является такой метод, который обеспечивает одинаковую точность во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра. Таким методом является рототабельное композиционное планирование.