- •Глава 4. Планирование эксперимента Введение
- •4.1. Стратегия эффективного планирования эксперимента
- •4.2. Выбор и анализ эмпирических моделей. Виды моделей
- •1) Модели в статике
- •2) Виды динамических моделей
- •Модели на базе передаточных функций
- •Модели на основе комплексного коэффициента передачи
- •Модели в виде конечно- разностных уравнений
- •Модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений
- •4.3. Оценка параметров модели
- •4.4. Общие требования, предъявляемые к оценкам
- •4.5. Методы оценивания параметров
- •4.6. Регрессионный анализ
- •4.7. Проверка адекватности модели
- •4.7.1. Критерий Фишера
- •4.7.2. Определение дисперсий неточности модели и ошибки эксперимента
- •4.7.3. Определение дисперсии воспроизводимости эксперимента
- •4.7.4. Проверка однородности дисперсий
- •4.8. Проверка значимости коэффициентов модели
- •4.9. Стратегическое планирование эксперимента
- •4.9.1. Требования к выходной величине
- •4.9.2. Факторы
- •4.9.3. Выбор интервалов варьирования
- •Верхний кодированный уровень: ; нижний кодированный уровень:.
- •4.9.4. Выбор числа уровней
- •4.9.5. Рандомизация
- •4.10. Полный факторный эксперимент
- •4.10.1. Свойства полного факторного эксперимента 2к
- •4.10.2. Выбор модели при проведении полного факторного эксперимента
- •4.11. Дробный факторный эксперимент
- •4.11.1. Обобщающий определяющий контраст
- •4.12. Планирование экспериментов при построении полной квадратичной модели
- •4.12.1. Ортогональное центральное композиционное планирование
- •4.12.2. Рототабельное композиционное планирование
- •4.12.3. Разбиение матрицы планирования 2к на блоки
- •4.13. Критерии оптимальности планов
- •4.14. D–оптимальные планы
- •4.14.1. Основные свойства d–оптимальных планов
- •4.14.2. Метод построения d–оптимальных планов
- •4.14.3. Синтез d–оптимальных тестирующих сигналов для идентификации динамических объектов
- •4.15. Тактическое планирование машинных экспериментов с моделями систем
- •4.15.1. Определение начальных условий
- •4.15.2. Проблема обеспечения точности и достоверности результатов
- •4.15.3. Проблема уменьшения дисперсии оценок
- •4.15.4. Правило автоматической остановки имитационного эксперимента
- •4.16. Принятие решений после построения модели процесса
4.11. Дробный факторный эксперимент
Во многих реальных процессах некоторые факторы взаимодействия могут отсутствовать. И тогда ПФЭ будет обладать избыточностью опытов.
Рассмотрим пути минимизации числа опытов.
Обратимся к уравнению (4.29). Если мы располагаем сведениями о том, что в выбранных интервалах варьирования процесс в статике может быть описан линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента b0 ,b1 ,b2. В результате остается одна степень свободы, т.к. имеем четыре опыта, а количество констант три. Используем эту степень свободы для минимизации числа опытов. При линейном приближении b12 0 и тогда вектор -столбец х1х2 может быть использован для нового фактора х3.
Таблица 4.4
-
Опыт
x0
x1
x2
x3
y
1
+1
+1
+1
+1
y1
2
+1
-1
+1
-1
y2
3
+1
+1
-1
-1
y3
4
+1
-1
-1
+1
y4
При этом эксперименте появляются смешанные оценки
, (4.32)
т.е. столбцы.
Пример. Допустим х1 и х2х3 между собой неразличимы. Однако парные взаимодействия в линейной модели незначительны. Зато вместо восьми опытов для изучения влияния трех факторов можно поставить только четыре опыта, т.е. вместо ПФЭ 23 мы имеем 23-1. В теории эксперимента 23-1 называют полу- репликой. В общем случае имеют дело с дробной репликой. А факторный эксперимент называют дробным (ДФЭ).
Для уяснения принципа составления МПЭ ДФЭ введено понятие определяющего контраста. Он позволяет определить какие оценки смешаны друг с другом, не изучая МПЭ для выявления совпадающих столбцов. Для этого берут символичное обозначение произведения столбцов равного +1 или -1. Это и называют контрастом. Чтобы определить какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту.
Пример. Пусть имеем три фактора х1 ,х2 ,х3 . При построении полуреплики 23-1 имеется только две возможности приравнять х3 либо к «+х1х2», либо к «-х1х2» (табл.4.5).
Таблица 4.5
Опыт |
x1 |
x2 |
x3 |
x1x2x3 |
Опыт |
x1 |
x2 |
x3 |
x1x2x3 |
1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
2 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
3 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
3 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
4 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
Возьмем в качестве определяющего контраста .Тогда. Учитывая, чтополучаем.
Теперь возьмем за определяющий контраст . Получаем:. Эти выражения показывают, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками (4.32).
Соотношение, показывающее с какими из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением.
При выборе полуреплики 24-1 возможны восемь генерирующих соотношений:
Разрешающая способность этих полуреплик различна. Реплики 1-6 имеют по три фактора и носят название планов с расширяющей способностью III ( по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте). Реплики 7-8 имеют по четыре фактора и обладают максимальной разрешающей способностью. Их называют главными репликами. Всегда стремятся выбрать реплику с наибольшей разрешающей способностью, т.к. чем больше эффектов взаимосвязано, тем точнее окажется полученная модель.
Однако, если имеется информация об эффектах взаимодействия, то реплики нужно выбирать с ее учетом.
Реализация МПЭ ДФЭ ничем не отличается от реализации МПЭ ПФЭ. Методика оценки значимости коэффициентов и проверка адекватности модели проводится также как и в ПФЭ.