4.9.3. Выбор интервалов варьирования
После выбора основного уровня выбирают интервал варьирования для каждого из факторов.
Интервалом варьирования факторов называют некоторое число, прибавление которого к основному уровню дает верхний , а вычитание - нижний уровни факторов. Т.е. это расстояние на координатной оси между основным и верхним ( либо нижним) уровнем.
Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются таким образом, чтобы верхний уровень соответствовал +1, а нижний -1, основной – нулю. Уровни, записанные в таких обозначениях, называются кодированными :
(4.27)
где
-
кодированное значение фактора;j-
номер фактора;
-
натуральное значение фактора;
-
натуральное значение основного уровня;
-
интервал варьирования.
Пример. 1=2; x1o=3
Рис. 4.9
Верхний кодированный уровень: ; нижний кодированный уровень:.
Экспериментальные планы, в которых все факторы выбираются на двух уровнях, называются планами типа 2К, где К - число факторов (рис. 4.9). Встречаются планы 3К и более числа уровней.
На выбор интервала варьирования накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше ошибки экспериментатора, которую он допускает при фиксации уровня фактора. В противном случае верхний и нижний уровни будут неразличимы. С другой стороны интервал варьирования ограничен сверху пределами области определения.
4.9.4. Выбор числа уровней
После определения интервалов варьирования выбирают значения факторов, т.е. число уровней для каждого фактора. Число уровней всегда ограничено снизу и не может быть меньше двух, т.е. если принять один уровень, то фактор окажется постоянным во всех опытах.
4.9.5. Рандомизация
Рандомизацией называется любая процедура, обеспечивающая случайный порядок проведения опытов. Такую процедуру осуществляют с помощью случайного выбора номера опыта. При проведении эксперимента всегда следует применять рандомизацию.
4.10. Полный факторный эксперимент
Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ). При двух уровнях имеем ПФЭ типа 2К. Число опытов для данного случая будет равно
Условие эксперимента записываются в виде таблицы. Строки её соответствуют различным опытам (вектор-строка), столбцы - значениям факторов в кодированном виде (вектор -столбцы). Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента (МПЭ).
Составим МПЭ для двумерной модели на двух уровнях 22 (табл.4.1). Число опытов N=22=4.
Таблица 4.1
|
Опыт |
x1 |
x2 |
y |
|
1 |
-1 |
-1 |
y1 |
|
2 |
+1 |
-1 |
y2 |
Продолжение таблицы 4.1
|
3 |
-1 |
+1 |
y3 |
|
4 |
+1 |
+1 |
y4 |
План эксперимента можно представить геометрически (рис.4.10). Для плана 22 каждая комбинация факторов представляет собой вершину квадрата.
Рис. 4.10. Геометрическое представление ПФЭ
В области определения факторов находят точку соответствующую основному уровню, Через эту точку проводят новые оси координат, параллельно осям натуральных значений факторов. Затем выбирают масштабы по новым осям для каждого фактора согласно выражению (4.27).
В
МПЭ вводится фиктивный столбец x0
для учета свободного члена
.
Коэффициенты
оцениваются согласно выражений
.