3.1.1. Метод половинного деления

Пусть действительный корень уравнения f(x) = 0 отделен и функция f(x) непрерывна на интервале [a, b] отделения корня. Построим процесс сужения интервала [a, b] так, чтобы искомый корень всегда находился внутри суженного интервала. Очевидно, что в этом случае погрешность приближенного значения корня не превышает , где- граничные точки интервала наk-й итерации. Найдем середину отрезка и вычислимСоставим произведенияи. Из двух половин отрезков выберем тот, в котором произведение является отрицательной величиной, и обозначим новые границы отрезка черезЗатем новый отрезок разделим пополам, вновь составим аналогичные произведения и выберем тот из отрезков, в котором произведение – величина отрицательная.

Погрешность метода половинного деления, который также называется МЕТОДОМ ДИХОТОМИИ, определяется достаточно очевидным соотношением (которое, впрочем, может быть строго доказано) –

которое указывает на скорость сходимости метода: с увеличением k погрешность стремится к нулю не медленнее геометрической прогрессии со знаменателем . Метод дихотомии прост и надежен, всегда сходится, хотя и медленно, устойчив к ошибкам округления. Метод дихотомии, однако, не обращается на системы уравнений.

3.1.2. Метод простой итерации

При использовании метода простой итерации для уточнения корня уравнение f(x) = 0 заменяется эквивалентным уравнением

(3.2)

Это означает, что из следует и наоборот. Привести уравнение (3.1) к уравнению (3.2) можно многими способами, например, положив , где- непрерывная произвольная знакопостоянная функция.

Геометрически на интервале отделения корня уравнение (3.2) представляется в виде двух пересекающихся линий иy = x (рис. 4). Пологая, что известно начальное приближение для значения корня, построим итерационный процесс

k = 0, 1, 2, …, (3.3)

изображенный на рис.4 ломаной линией со стрелочками, указывающими направление движения. Для представленного на рис.4 случая взаимного расположения линий y = x и неограниченное повторение вычислений по соотношению (3.3) позволяет сколь угодно близко подойти к точному значению корня .

Рисунок 4 – Геометрическая интерпретация метода простой итерации

Исследуем сходимость метода. Если имеет непрерывную производную, то из теоремы Лагранжа о конечном приращении

(3.4)

следует, что точка лежит между точками и. Поэтому если всюду, то отрезкиубывают не медленнее геометрической прогрессии со знаменателемq<1. Действительно, из (3.4), которое можно рассматривать как рекуррентное соотношение, следует, что и последовательностьсходится при любом нулевом приближении.

Итак, условие

(3.5)

Является достаточным условием сходимости итераций. Если , то итерации могут не сходиться. Если, но вдали от корня, то итерации сходятся, если начальное приближение выбрано достаточно близко к корню. При произвольном начальном приближении сходимости может не быть. Таким образом, в методе простой итерации важен выбор начального приближения. Из соотношения (3.4) следует, что если на интервале отделения корня выполняется условие

,

то погрешность на каждой итерации уменьшается для любого начального приближения не медленнее членов геометрической прогрессии со знаменателем q.

Четыре случая взаимного расположения линий y = x и вблизи корня и соответствующие им итерационные процессы показаны на рис. 5,a и 5. б соответствуют случаю – процесс итераций сходится. При этом в первом случаеи сходимость носит односторонний характер (рис. 5,а), а во втором и сходимость носит двусторонний характер (рис. 5,б). Рис. 5, в и 5, г соответствуют случаю – процесс итерации расходится, при этом имеет место односторонняя и двусторонняя расходимость.

Рисунок 5 – Типовые случаи устойчивой и неустойчивой реализации метода простой итерации

Подчеркнем, что условие (3.5) сходимости метода итераций является лишь достаточным. При этом все приближения должны попадать в отрезок отделения корня. Выполнение условия (3.5) гарантирует сходимость процесса (3.3), но невыполнение условия (3.5) в общем случае не означает, что итерационный процесс окажется расходящимся. Например, для случая, проиллюстрированного рис.6, условие (3.5) на интервале не выполняется, но метод итераций сходится.

Рисунок 6 – Частный случай сходимости метода простой итерации

Используя соотношения(3.4) и (3.5), можно записать

где Из этого соотношения следует, что скорость сходимости метода итерации зависит от величиныq: чем меньше q, тем быстрее сходится метод.

Исходное уравнение f(x) = 0 может быть преобразовано к виду многими способами, и, очевидно, для метода итерации целесообразно брать то уравнение, для которогоq имеет наименьшее значение.

Для пояснения рассмотрим классический пример вычисления квадратного корня. Исходное уравнение преобразуем к видутремя способами, приведенными в табл. 1 в первом столбце.

Анализ поведения вблизи корня (третий столбец таблицы) показывает, что при удачном выборе представленияможно обеспечить высокую скорость сходимости итерационного процесса без ограничения диапазона параметраа. Третье уравнение используется для вычисления квадратного корня на компьютерах. Таким образом, в методе простой итерации важен выбор вида функцийОтметим, что метод простой итерации обобщается на случай систем линейных уравнений.

Таблица 1. Примеры выбора функции в методе простой итерации

		Поведение	Сходимость метода
		при	Не сходится
		<1 при при	Сходится в ограниченном интервале к отрицательному значению корня
		при	Сходится, и очень быстро

Лекция № 7