4.3.9 Итерационно-интерполяционный метод Эйткина

В тех случаях, когда нет необходимости в получении приближенного аналитического выражения функции f(x), заданное таблично, а требуется лишь определить значение этой функции в некоторой точке , отличной от узлов интерполяции, целесообразно использовать итерационно-интерполяционный метод Эйткина. По существу, этот метод заключается в последовательной линейной интерполяции. Процесс вычисления состоит в следующем. Пронумеруем узлы интерполяции, например, в порядке удаления их оти составим матрицу:

Здесь

;

-

интерполяционный многочлен первой степени, построенный по узлам ;

-

интерполяционный многочлен второй степени, построенный по узлам ;. Продолжая этот процесс, построим многочлен

. (4.43)

Покажем, что еслии- интерполяционные многочлены, построенные соответственно по узлами, то- интерполяционный многочлен, построенный соответственно по узлам.

Действительно, во-первых, - многочлен степени не вышеn, что очевидно из построения формулы (4.43). Во-вторых, во всех узлахмногочленпринимает соответствующие значения:

(;

(;

Вычисляя последовательно по формуле (4.43) значения…, принимают их за последовательные приближения. Процесс вычисления практически заканчивают, когда абсолютная величина разности двух последовательных приближений становится достаточно малой.

Лекция № 13

4.3.10 Интерполирование с кратными узлами

Задача, в которой параметры интерполирования – коэффициенты интерполяционного многочлена – определяются только значениями интерполируемой функции, называют задачей интерполирования по Лагранжу, а сам процесс построения интерполяционного полинома – процессом Лагранжа.

Рассмотрим теперь более широкую задачу – задачу интерполирования по значениям функции и ее производных , или задачу кратного интерполирования.

Пусть на сетке в узлах заданы значениянекоторой функцииf и ее производные

,

причем требуется построить многочлен, значения которого и производные до порядкав узлах(i=0,1,…,m) совпадают со значениями и соответствующими ее производными, а также оценить погрешность.

Такой вид интерполирования называют интерполированием по Эрмиту, а соответствующий многочлен-многочленом Эрмита. Числа называют кратностями узлов. При этом можно доказать, что многочлен Эрмита существует и единственен.

.

Остаточный член интерполяционной формулы …. можно представить в следующем виде:

.

. (4.44)

Пусть для определенности

. (4.45)

Используя это ограничение и формулу (4.44), получим оценку погрешности для фиксированной точки x:

. (4.46)

Построение равномерной на всем отрезке [a,b] оценки для фиксированной сетки теперь не представляет труда. Действительно,

, (4.47)

где

. (4.48)

Пример 4.4. Построить интерполяционный многочлен Эрмита для функции по узламсоответственно с кратностями. Получить равномерную оценку погрешности на отрезке [-1,1].

Вычислим в заданных узлах значение функции и ее производной:

;

Построим многочлен Эрмита с учетом кратностей узлов:

.

Найдем оценку погрешностей. Используя формулу (4.47) и учитывая, что для рассматриваемой функции , получим

.

Нетрудно показать, что . Поэтому окончательно имеем.