- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Оглавление
- •Лекция № 1
- •1. Особенности математических вычислений, реализуемых на эвм: теоретические основы численных методов: погрешности вычислений
- •1.1. Дискретизация
- •1.3. Погрешность
- •1.4. Устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени)
- •2.1. Основные понятия линейной алгебры. Классификация методов решения
- •2.2. Метод исключения Гаусса. Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения
- •2.3. Численные методы решения линейных уравнений
- •2.3.1. Метод прогонки
- •2.3.2. Итерационные методы
- •3.1. Решение нелинейных уравнений
- •3.1.1. Метод половинного деления
- •3.1.2. Метод простой итерации
- •3.1.3. Метод Ньютона
- •3.1.4. Метод секущих
- •3.1.5. Метод парабол
- •3.2. Методы решения нелинейных систем уравнений
- •4.1.Функция и способы ее задания
- •4.2 Основные понятия теории приближения функций
- •4.3 Интерполяция функций
- •4.3.1 Интерполирование с помощью многочленов
- •4.3.2 Погрешность интерполяционных методов
- •4.3.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.4 Конечные разности
- •4.3.5 Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя
- •4.3.6 Интерполяционные многочлены Ньютона
- •4.3.7 Разделенные разности
- •4.3.8 Интерполяционный многочлен Ньютона для произвольной сетки узлов
- •4.3.9 Итерационно-интерполяционный метод Эйткина
- •4.3.10 Интерполирование с кратными узлами
- •4.4 Равномерное приближение функций. Приближение методом наименьших квадратов
- •5.1. Численное дифференцирование
- •5.2. Формулы численного интегрирования
- •5.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений
- •Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •5.4. Преобразование Фурье
- •5.4.1 Применения преобразования Фурье
- •5.4.2 Разновидности преобразования Фурье Непрерывное преобразование Фурье
- •Ряды Фурье
- •Дискретное преобразование Фурье
- •Оконное преобразование Фурье
- •Другие варианты
- •5.4.3 Интерпретация в терминах времени и частоты
- •5.4.4 Таблица важных преобразований Фурье
- •Библиографический список
4.3 Интерполяция функций
4.3.1 Интерполирование с помощью многочленов
Рассмотрим задачу интерполирования функции f с помощью алгебраических многочленов. В этом случае аппроксимирующая функция имеет вид
. (4.1)
Выбор конкретного значения n во многом определяется свойствами аппроксимируемой функции, требуемой точностью, а также узлами интерполирования. На выбор величины n существенное влияние оказывает и вычислительный процесс, привносящий в результат дополнительную погрешность.
В качестве критерия согласия принимается условие совпадения иf в узловых точках. Для однозначного определения n+1 коэффициентов многочленанеобходимо потребовать совпаденияf и в (n+1)-й узловой точке:
(i = 0,1,…,n) (4.2)
Многочлен , удовлетворяющий условиям (3.2), называетсяинтерполяционным многочленом. Чтобы подчеркнуть зависимость этого многочлена от функции f, его часто обозначают .
Под погрешностью интерполяции в случае, когда необходимо вычислить значение функцииf(x) в одной точке , понимают абсолютную величину разности между точным и приближенным значениями:
. (4.3)
В том же случае, когда интерполяция производится на всем отрезке , в качестве погрешности принимается максимальное отклонение многочленаот функцииf на рассматриваемом отрезке:
.
Итак, рассмотрим следующую задачу интерполирования. На сетке в узлахзаданы значения(i = 0,1,….,n) функции f. Требуется построить интерполяционный многочлен , совпадающий сf в узлах , и оценить погрешность.
Теорема 1. Пусть:
на отрезке [a,b] заданна сетка ;
заданны произвольные числа (i=0,1,…,n).
Тогда существует единственный многочлен степени не вышеn, принимающий в узлах заданные значения
Из условий для определения неизвестных коэффициентов многочлена получаем систему алгебраических уравнений
(i=0.1,….,n) (4.4)
Определитель этой системы
(4.5)
есть определитель Вандермонда, который отличен от нуля при условии при.
Коэффициенты интерполяционного многочлена (4.1) можно определить, положив в системе (4.4) и решив ее, например, по формуле Крамера:
.
Здесь - определитель, получающийся изW заменой столбца членов, содержащих (n-k)-ю степень (i=0,1,…,n), на столбец свободных членов системы (3.4)
. (4.7)
Подставив полученные значения коэффициентов в равенство (4.1), приходим к новой форме представления интерполяционного многочлена :
(4.8)
На практике обычно используются интерполяционные многочлены первой и второй степеней. При этом говорят о линейной и квадратичной интерполяции.
Пример 1. По узлам и соответствующим значениям функциипостроить интерполяционный многочлен, представив его в виде линейной комбинации значений.
Согласно формуле (4.8) имеем
Разложив определитель по элементам 1-го столбца, получим
Учитывая, что
,
окончательно находим
4.3.2 Погрешность интерполяционных методов
Оценка меры погрешности, как правило, производится на для отдельно взятой функции, а для целого класса функций, обладающих определенными общими свойствами.
Если точка интерполирования фиксирована, то за меру погрешности естественно принять величину- остаточный член интерполяционной формулы, зависящий от свойств функцииf, параметров интерполирования и положения точки интерполяции. Если же точка заранее не известна, а интерполирование осуществляется на отрезке, то за меру погрешности целесообразно принять величину
.
Теорема 2. Пусть
узлы различны в месте с принадлежат отрезку;
функция f имеет на непрерывную производную порядкаn+1.
Тогда существует такая точка , что
.
Пусть для определенности ;. Тогда равномерная на всем отрезке [a,b] оценка для фиксированной сетки.
, (4.9)
где .