5.2. Формулы численного интегрирования

Пусть требуется вычислить интеграл

(5.24)

Из курса математического анализа известно, что для непрерывной на отрезке [a,b] функции f интеграл (5.24) существует и равен разности значений для первообразной F для функции f в точках b и a:

. (5.25)

Однако в подавляющем большинстве практических задач первообразную F не удается выразить через элементарные функции. Кроме того, функция f часто задается в виде таблицы ее значений для определенных значений аргумента. Все это порождает потребность в приближенных методах вычислении интеграла (5.24), которые можно условно подразделить на аналитические и численные. Первые заключаются в приближенном построении первообразной и дальнейшем использовании формулы (5.25). Вторые позволяют непосредственно найти числовое значение интеграла, основываясь на известных значениях подынтегральной функции (а иногда и ее производной) в заданных точках, называемых узлами. В настоящей главе остановимся лишь на численных методах интегрирования функций. Сам процесс численного определения интеграла называется квадратурой, а соответствующие формулы – квадратурными.

В зависимости от способа задания подынтегральной функции будем рассматривать два различных в смысле их реализации случая численного интегрирования.

Задача 1. На отрезке [a,b] в узлах заданы значениянекоторой функцииf, принадлежащей определенному классу F. Тре6уется приближенно вычислить интеграл (5.24) и оценить погрешность полученного значения. Так обычно ставится задача численного интегрирования в том случае, когда подынтегральная функция задана в виде таблицы.

Задача 2. На отрезке [a,b] функция f(x) задана в виде аналитического выражения. Требуется вычислить интеграл (5.24) с заданной предельно допустимой погрешностью.

Один из способов решения сформулированных задач основан на использовании различных квадратурных формул вида

(5.26)

С известным остаточным членом или его оценкой.

В общем случае, как узловые точки , так и весовые множители (веса)заранее не известны и подлежат определению при выводе каждой конкретной квадратурной формулы на основе предъявляемых к ней требований.

Алгоритм решения задачи 1.

1. Выбирают конкретную квадратурную формулу (5.26) и вычисляют . Если значения функциизаданы приближенно, то фактически вычисляют лишь приближенное значениедля точного.

2. Приближенно принимают, что

3. пользуясь конкретным выражением для остаточного члена или оценкой его для выбранной квадратурной формулы, вычисляют погрешность метода:

.

4. Определяют погрешность входных данных :

по погрешности приближения значений .

5. Находят полную абсолютную погрешность приближенного значения :

.

6. Получают решение задачи в виде

.

Для достаточно гладких функций, т.е. для функций с ограниченным изменением производных, погрешность квадратурных формул (4.26) для достаточно больших n, как правило, мала. Поэтому при достаточной точности исходных значений и при достаточной точности вычисленияможно ожидать, чтобудет хорошим приближенным дляI. На этих соображениях основан следующий алгоритм.

Алгоритм решения задачи 2.

1. Представляютв виде суммы трех неотрицательных слагаемых:

,

где - предельно допустимая погрешность вычисления;- предельно допустимая погрешность метода;- предельно допустимая погрешность округления результата.

2. Выбирают n в квадратурной формуле так, чтобы выполнялось неравенство

.

3. Вычисляют с такой точностью, чтобы при подсчетепо формуле (5.26) обеспечить выполнение неравенства

.

Для этого, очевидно, достаточно вычислить все с абсолютной погрешностью.

.

4. Найденную в п. 3 величину округляют (если) с предельно допустимой погрешностьюдо величины.

5. Получают решение задачи в виде

.

Используемые в алгоритмах обеих задач квадратурные формулы строятся, как уже было сказано, на основании тех или иных критериев, определяющих положение узловых точек и величины весовых множителей. Такими критериями могут быть: представление интеграла в виде интегральной суммы; аппроксимация подынтегральной функции (например, многочленом) и последующее интегрирование аппроксимирующей функции; требование, чтобы формула (5.26) была абсолютно точной для определенного класса функций, и др.

Простейшие квадратурные формулы

Формулы прямоугольников. Как известно, определенный интеграл в силу своего построения есть предел интегральных сумм:

, (5.27)

каждая, из которых соответствует некоторому разбиению :отрезкаи произвольному набору точекдля каждого разбиения;.

Ограничиваясь конечным числом слагаемых в правой части равенства (5.27) и принимая в качестве набора те или иные значения аргумента из отрезков, можно получить различные формы приближенного интегрирования. Так, принимая в качестве наборазначения левых или правых концов отрезков, получим соответственноформулу левых или правых прямоугольников :

, (5.28)

. (5.29)

Название этих формул связано с их геометрической интерпретацией. Если в плоскости Х0У (рис 5.1) построить кривую y = f(x), разбить отрезок наn частей точками сетки, то формула левых прямоугольников в качестве приближенного значения интеграла даст суммарную площадь штрихованных прямоугольников (рис. 5.1, а); а формула правых прямоугольников - суммарную площадь штрихованных прямоугольников (рис. 5.1, б).

Рисунок 5.1 – Графическая интерпретация формулы прямоугольников:

а) левых прямоугольников

б) правых прямоугольников

в) центральных прямоугольников

Пример 5.3. с помощью формул левых и правых прямоугольников вычислить , полагаяn = 4.

Зная приделы интегрирования a = 1 и b = 9, находим шаг ; тогда точками разбиения служат,,,,, а значения подынтегральной функциив этих точках таковы:

Далее найдем числовое значение интеграла, пользуясь формулой (5.28):

Если вычисление определенного интеграла произвести по формуле (5.29), то получим:

Наиболее часто используемой формулой, основанной на идее представления определенного интеграла в виде интегральной суммы, является формула прямоугольников, где в качестве берут середины отрезков. Для равномерной сеткиэта формула имеет следующий вид:

, (5.30)

где ;;.

Найдем выражение для остаточного члена приближенной формулы (5.30) с этой целью представим интеграл, входящий в левую часть соотношения (4.30), в виде суммы:

. (5.31)

Предполагая, что функция f(x) дважды дифференцируема, т.е. , запишем для функцииf(x) на каждом из отрезков формулу Тейлора остаточным членом в форме Лагранжа:

(5.32)

Подставим в правую часть соотношения (5.31) вместо функции f ее представление (5.32) и выполним интегрирование, используя вторую теорему о среднем значении функции:

В силу непрерывности второй производной существует такая точка , что

Используя это соотношение, окончательно имеем

(5.33)

Сравнивая формулы (5.30) и (5.33), получаем выражение для остаточного члена квадратурной формулы (5.30):

(5.34)

Таким образом, оценку погрешности квадратурной формулы (5.30) можно представить в следующем виде:

(5.35)

где

Полученные выражение для остаточного члена (5.34) и погрешности (5.35) показывают, что формула (5.30) является точной для любой линейной функции, поскольку вторая производная такой функции равна нулю, а, следовательно, остаточный член и погрешность также равны нулю.

Перейдем к оценке погрешности приближенного значения . Если значения функции, используемые в квадратичной формуле, получены, приближено или вычисления не могут быть выполнены абсолютно точно, то это влечет за собой появление вычислительной погрешности и погрешностей округления. Пусть значенияв формуле (5.30) получены с одинаковой абсолютной погрешностью; тогда суммарная вычислительная погрешностьсоставит

(5.36)

Эта погрешность не зависит от числа разбиений отрезка интегрирования, а пропорциональна только его длине.

Пример 5.4. Вычислить с помощью формулы прямоугольников интеграл , полагаяn = 4. Оценить погрешность полученного приближенного значения.

По заданным пределам интегрирования и числу разбиений n определим шаг:

. далее на основании формулы (5.30) имеем

Вычислив необходимые значения функции с тремя верными в узком смысле знаками , получим

Погрешность метода оценим по формуле (5.35), для чего предварительно найдем максимум абсолютной величины второй производной подынтегральной функции:

Таким образом, погрешность метода есть

Пользуясь формулой (5.36), найдем погрешность входных данных:

Следовательно, за полную погрешность приближенного вычисления интеграла можно принять , а окончательный ответ записать в виде

Формула трапеций. Перейдем теперь к другому способу построения квадратурных формул, связанному с аппроксимацией подынтегральной функции интерполяционным многочленом. Рассмотрим простейший случай аппроксимации многочленом первой степени с узлами в точках a и b:

; .

Интегрируя правую и левую части этого равенства и используя вторую теорему о среднем значении функции при интегрировании последнего слагаемого правой части, находим:

; .

Таким образом, предполагая, что отрезок интегрирования мал, получаем квадратурную формулу, называемую формулой трапеций:

(5.37)

с остаточным членом

; . (5.38)

Используя выражение (5.35) для остаточного члена, опенку погрешности квадратурной формулы (5.37) можно представить в виде

, (5.39)

где .

Полученные выражения для остаточного члена (5.38) и погрешности (5.39) показывают, что квадратурная формула (5.37) является точной для всех линейных функций, поскольку вторая производная таких функций равна нулю, а, следовательно, равны пулю остаточный член и погрешность.

Пример 5.5. Вычислить с помощью формулы трапеций интеграл .Оценить погрешность полученною приближенного значения.

На основании формулы (5.37) имеем

.

Вычислив необходимые значения функции, получим

.

Погрешность метода оценим по формуле (5.39), используя значение М=2 полученное в примере 5.4:

.

Вычислительная погрешность, очевидно, равна нулю, так как значе­ния функции и , найдены абсолютно точно.

Итак, окончательно имеем .

Отметим, что в примере 5.5 получилось гораздо менее точное решение, чем в примере 5.4. Однако использование в примере 5.5 формулы трапеций имеет свои преимущества. Во-первых, если подынтегральная функция задана в виде таблицы ее значений в узлах , то для использования формулы прямоугольников необходимо определить значения этой функции еще и в точках, что вносит дополнительные трудности и дополнительную погрешность. Во-вторых, в примере 5.5 значения подынтегральной функции были вычислены всего лишь в двух точках, в то время как в примере 5.4 - в четырех точках, что, естественно, потребовало большего времени.

Приведенные рассуждения показывают, что ценность квадратурной формулы определяется не только формой ее остаточного члена (или погрешности), но и другими факторами, например временем счета.

Квадратурные формулы Ньютона – Котеса.

Рассмотрим формулы численного интегрирования, имеющие более сложную структуру. Описанные выше методы численного интегрирования являлись интерполяционными, включая в определенном смысле и формулы прямоугольников. Это означает, что подынтегральная функция аппроксимировалась интерполяционным многочленом. Если интегрируемая функция достаточно гладкая, а отрезок интегрирования конечен, то можно получить достаточно хорошие результаты. С другой стороны, трудно рассчитывать на хорошую аппроксимацию интегрируемой функции многочленом, если сама функция или ее производные невысоких порядков имеют особенности. В таких случаях подынтегральную функцию целесообразно представить в виде произведения двух сомножителей:, которые должны обладать следующими тремя свойствами. Во-первых, весовой множительр(х) должен отражать все особенности интегрируемой функции. Во-вторых, моменты

(k = 0,1,…),

где [а, b] - отрезок интегрирования, должны вычисляться аналитически.

В-третьих, погрешность аппроксимации функции f(x) многочленом должна быть мала.

Перейдем теперь к построению самих квадратурных формул. Будем их строить в том же виде, что и раньше:

. (5.41)

В общем случае, как уже отмечалось, формула (5.41) имеет 2n свободных параметров - это узлы квадратуры и весовые множители. Числоn будем предполагать фиксированным. Выбор свободных параметров определяется теми требованиями, которые предъявляются к квадратурной формуле условиями практической задачи. Такими требованиями могут быть, например, максимально возможная точность, минимальная вычислительная погрешность, фиксирование некоторых (а возможно, и всех) весовых множителей или узлов квадратуры.

Начнем с относительно простого случая, когда узлы определены заранее и можно варьировать лишь выбором весовых множителей. Идея интерполяционных квадратур заключается в следующем. Аппроксимируем функциюf интерполяционным многочленом в форме Лагранжа степени n-1 по n различным узлам:

.

Проинтегрируем правую и левую части этого равенства на отрезке [а,b], предварительно умножив их на весовую функцию р(х):

. (5.42)

Преобразуем первое слагаемое правой части этого соотношения.

Для этого подставим вместо его явное выражение и поменяем местами операции интегрирования и суммирования:

. (5.43)

Здесь . Первый из множителей, входящих под знак суммы, является числовым коэффициентом, пропорциональным длине отрезка интегрировании и зависящим только от расположения узлов и свойств функции р(х) (по не функции f).

Предполагая теперь, что второе слагаемое правой части соотношения (5.42) мало, получаем приближенную квадратурную формулу (5.41) с заданными узламии коэффициентами, определяемыми следующим образом:

(i = 1,2,…,n). (5.44)

Построенная таким образом квадратурная формула называется интерполяционной.

Перейдем к оценке погрешности формулы (5.41) с коэффициентами (5.44). Для этого проинтегрируем остаточный член интерполяционной формулы:

.

Подставляя приведенное выражение во второе слагаемое равенства (5.42), получаем

; .

Если функция f имеет на отрезке итерирования непрерывную производную порядка n, а произведение сохраняет на том же отрезке свой знак, то дли остаточного члена можно получить следующее выражение:

; . (5.45)

и, следовательно, оценка погрешности квадратуры принимает вид

, (5.46)

где Полученная оценка при указанных выше условиях является не улучшаемой.

Если же произведение не сохраняет знак па отрезке интегрирования, но в этом случае получается лишь грубая оценка погрешности:

,

которая может оказаться далеко не оптимальной. Полому в подобных случаях пользуются другими соображениями при построении явного выражения для остаточного члена и погрешности.

Пример 5.6. Построить квадратурную формулу (5.41) дли отрезка [-1,1] с узлами и весовой функцией.

По существу, необходимо определить коэффициенты A, (i = 1,2,3) формулы (5.41). Используя выражение (5.44) для искомых коэффициентов, получаем

,

,

.

Таким образом, искомая формула имеет вид

.

В практических расчетах особый интерес представляет случай, когда узлы квадратурной формулы задаются в виде равноотстоящих точек отрезка [а, b]: (i = 1,2,…,n), а весовая функция р(х) тождественно равна единице. При таких предположениях формулу (5.41) можно преобразовать к виду

. (5.47)

При различных n получаем квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Коэффициенты, называемыекоэффициентами Котеса, определяются из соотношения (5.44):

, (5.48)

где n >1; i = 1,2,…,n; 0!=1.

Эти коэффициенты обладают следующими полезными при их вычислении свойствами.

1. Симметричные коэффициенты (первый и n-й, второй и (n-1)-й, ...) равны между собой:

. (5.49)

2. Сумма всех коэффициентов равна единице:

.

В табл. 6 приведены значения коэффициентов Котеса для n = 2, 3, 4, 5, 6.

Таблица 6. Значения коэффициентов Котеса для n = 2, 3, 4, 5, 6

n	i = 1	i = 2	i = 3	i = 4	i = 5	i = 6
2	1/2	1/2	-	-	-	-
3	1/6	4/6	1/6	-	-	-
4	1/8	3/8	3/8	1/8	-	-
5	7/90	32/90	12/90	32/90	7/90	-
6	19/288	75/288	50/288	50/288	75/288	19/288

Остановимся на частном случае квадратурной формулы (5.47), получающемся при n = 3. Применяя формулу (5.48), имеем

.

Далее, используя равенства (5.49), найдем

, .

Таким образом, искомая квадратурная формула, называемая формулой Симпсона, имеет вид

. (5.50)

Формула (5.50) является точной для всех многочленов нулевой, первой, и второй степеней. Формула Симпсона обладает также так называемым свойством повышенной точности, которое заключается в том, что она является точной не только для многочленов второй степени, но и для многочленов третьей степени.

Оценка погрешности имеет вид

, (5.51)

где .

Пример 5.7. Вычислить с помощью формулы Симпсона интеграл . Оценить погрешность полученного приближения.

Вычислив необходимые значения подынтегральной функции в точках , подставим их в формулу (5.50):

.

Учитывая, что , и используя формулу (5.51), для метода получим погрешность.

Найдем вычислительную погрешность

.

Складывая погрешности и округляя результат, окончательно имеем

.

Лекция № 16