Матрица проводимостей пассивной части схемы

Неопределенные матрицы проводимостей транзисторов

Матрицы инциденций транзисторов

Формирование укороченной матрицы проводимостей схемы в соответствии с (6.56)

Определение коэффициента передачи по напряжению

Определение АЧХ коэффициента передачи по напряжению

Определение ФЧХ коэффициента передачи по напряжению

Графики АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению

Определение входного импеданса

Определение АЧХ входного импеданса

Определение ФЧХ входного импеданса

Графики АЧХ и ФЧХ входного импеданса

Определение выходного импеданса

Определение АЧХ выходного импеданса

Определение ФЧХ выходного импеданса

Графики АЧХ и ФЧХ выходного импеданса

6.2. Индивидуальное задание №2. Анализ линейной электронной схемы методом переменных состояния.

Индивидуальное задание направлено на закрепление теоретического материала и приобретение практических навыков по тематическому разделу “Анализ электронных схем во временной области”. Варианты индивидуального задания №2 приведены в приложении А.

Индивидуальное задание подразумевает формирование математической модели в базисе переменных состояния для малосигнального режима работы заданной электронной схемы непрерывного действия и расчет на основе сформированной модели частотных или временных характеристик.

Постановка индивидуального задания.

• Провести расчет пассивных компонентов схемы.

• Сформировать схему замещения по переменному току.

• Выполнить замещение активного многополюсного компонента заданной линейной малосигнальной эквивалентной схемой.

• Сформировать полюсный граф электронной схемы,

• Выполнить разбиение дуг полюсного графа, выбрать покрывающее дерево и систему координат в соответствии с алгоритмом формирования уравнений состояния, основанном на использовании уравнений ветвей для координат (ВК-уравнений).

• Сформировать топологические и компонентные матрицы, а также матрицы эквивалентных параметров, соответствующие ВК-уравнениям.

• Выполнить разделение переменных состояния и алгебраических переменных и сформировать уравнение состояния в канонической форме.

• Сформировать выходное уравнение для заданной переменной реакции.

• Рассчитать и построить амплитудно-частотную и фазо-частотную либо переходную характеристики для заданной переменной реакции.

Примечания.

• Для расчета частотных характеристик получить и использовать выражение соответствующей комплексной частотной схемной функции.

• Для расчета переходной характеристики использовать аналитическое решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример выполнения индивидуального задания

Для малосигнального режима работы электронной схемы избирательного LC-усилителя (рис.6.29) сформировать математическую модель в базисе переменных состояния, используя алгоритм, основанный на уравнениях ветвей для координат (ВК-уравнениях). В качестве моделей активных многополюсных электронных компонентов использовать малосигнальные высокочастотные эквивалентные схемы, приведенные на рис. 6.30. Рассчитать и построить амплитудно-частотные, фазо-частотные и переходные характеристики, рассматривая в качестве переменных реакции схемы выходное напряжение, выходной и входной токи.

Рис. 6.29 . Схема избирательного LC-усилителя

а) б)

Рис. 6.30. Эквивалентные схемы транзисторов: а – полевого с управляющим p-n-переходом; б - биполярного

Схема замещения усилителя по переменному току, сформированная с учетом всех реактивных компонентов, представлена на рис. 6.31.

Рис. 6.31. Схема замещения избирательного LC-усилителя по переменному току

Замещая в схеме рис. активные многополюсные электронные компоненты заданными эквивалентными схемами, получаем схему замещения усилителя по переменному току, содержащую только двухполюсные компоненты, которая приведена на рис. 6.32.

Рис. 6.32. Схема замещения избирательного LC-усилителя, содержащая двухполюсные компоненты

Полюсный граф, соответствующий схеме замещения рис.6.32, представлен на рис. 6.33.

Рис. 6.33. Полюсный граф избирательного LC-усилителя

Для формирования математической модели в базисе переменных состояния на основе ВК-уравнений множество дуг полюсного графа следует разбить на 6 подмножеств:

• Е-дуги, отображающие ветви независимых источников ЭДС и короткозамкнутые дуги;

• С-дуги, отображающие емкостные ветви;

• G-дуги, соответствующие безреактивным y-ветвям;

• R-дуги, соответствующие безреактивным z-ветвям;

• L-дуги, отображающие индуктивные ветви;

• J-дуги, отображающие независимые источники тока и разомкнутые дуги.

При этом к y-дугам относятся C-дуги, G-дуги и J-дуги, а к z-дугам – Е-дуги, R-дуги и L-дуги.

С целью удобства формирования топологических матриц для обозначения дуг полюсного графа рис. 6.33 приняты обозначения соответствующих ветвей схемы замещения рис. 6.32. При этом параллельно включенные зависимый источник тока и ветвь с проводимостьюпредставлены эквивалентной дугойG1, а параллельно включенные зависимый источник тока и ветвь с сопротивлением– эквивалентной дугойG2. Направления дуг G1 и G2 выбраны согласно направлениям соответствующих зависимых источников тока. Для представления матричного компонентного уравнения в упрощенной форме дуга, соответствующая управляющему по току двухполюснику с сопротивлением, отнесена кR-дугам. К R-дугам произвольно отнесены и все оставшиеся безреактивные ветви. Направление дуги выбрано противоположно направлению задающей э.д.с., направление дуги- противоположно направлению управляющего напряжения, направление дуги - согласно направлению управляющего тока . Направления остальных дуг полюсного графа выбраны произвольно.

Полюсный граф избирательного усилителя (рис. 6.33) содержит E-дуг ();С-дуг (С1, С2, С3,,,,);G-дуг (G1, G2); R-дуг (R1, R2, R3, , , Rн); L-дуг (L1); y-дуг; z-дуг; вершин;компоненту. В графе отсутствуютJ-дуги, поэтому .

Для формирования модели в базисе переменных состояния на основе ВК-уравнений должно быть выбрано так называемое нормальное дерево, в которое сначала включают все Е-дуги, затем максимально возможное количество С-дуг, далее G-дуги, затем R-дуги и, наконец, минимально необходимое количество L-дуг. При этом все J-дуги остаются в дополнении нормального дерева. Если полюсный граф соответствует электронной схеме с правильной структурой, когда отсутствуют особые сечения и контуры, то все С-дуги войдут в состав нормального дерева, а все L-дуги – в состав его дополнения. Вектор переменных состояния будет содержать напряжения всех С-дуг нормального дерева и токи всех L-дуг дополнения. Таким образом, выбор нормального дерева обеспечивает исключение всех топологически зависимых переменных состояния.

В общем случае при выборе нормального дерева в соответствии с изложенными правилами топологические матрицы главных сечений и главных контуров могут быть представлены в виде:

,

,

где ,- единичные и нулевые подматрицы соответствующих размерностей. В обозначения остальных подматриц первый индекс указывает на тип дуг, определяющих соответствующие координаты (главные сечения для подматриц главных сечений или главные контуры для подматриц главных контуров), а второй индекс – тип дуг полюсного графа, которым соответствует подматрица.

С учетом распределение дуг графа между y-дугами и z-дугами справедливо:

, ,

, .

Если дуги в каждом подмножестве сгруппировать так, чтобы сначала следовали дуги нормального дерева, а затем хорды, топологические подматрицы можно представить в виде:

, , , , ;

, ,, ,;

, , , ;

, , ;

, ;

, ;

, ,

;

, ,

, ;

, ,

, ,

;

_, ,

,

,

.

Нормальное дерево полюсного графа избирательного усилителя (рис. 6.33) должно содержать дуг. На рис. 6.33 дуги нормального дерева выделены жирными линиями. В состав нормального дерева включеныE-дуг (дуга ) иС-дуг (С1, С2, С3,,,). Нормальное дерево не содержитG-дуг (),R-дуг () иL-дуг (). Дополнение нормального дерева включаетС-дугу (), всеG-дуги (), всеR-дуги () иL-дугу (). Таким образом, нормальное дерево полюсного графа рис. содержитдуг, а дополнение нормального дерева –дуг.

Рассматриваемая схема избирательного усилителя обладает неправильной структурой (является топологически вырожденной), так как содержит особый контур, образованный С-дугами,и. Именно по этой причине в состав нормального дерева графа вошли не все С-дуги: произвольно выбранная одна из дуг особого контура () включена в состав дополнения дерева.

Выбранное нормальное дерево определяет систему главных сечений иглавных контуров. При этомсечение (сечение СЕ1) определяетсяE-дугой дерева, а сечений (сечения СС1, СС2, СС3, СС4, СС5, СС6) – С-дугами дерева. Сечения, определяемыеG-дугами, R-дугами и L-дугами в графе рис. отсутствуют. В системе главных контуров контур определяется С-дугой,контура –G-дугами, контуров –R-дугами, контур –L-дугой. Кроме того, в графе отсутствуют J-дуги. Следовательно, топологические матрицы главных сечений и главных контуров принимают вид:

,

.

Так как топологические матрицы главных контуров могут быть получены из топологических матриц главных сечений, система главных контуров в графе рис. 6.33 не показана.

Подматрица имеет размерность , а подматрица - :

, .

Подматрица имеет размерность , а подматрица - . Так как, а, то

.

Подматрица имеет размерность , а подматрица - . Так как, то

.

Подматрица имеет размерность , а подматрица - . Так как, то

.

Подматрица имеет размерность , а подматрица - :

, .

Подматрица имеет размерность , а подматрица - . Так как, а, то

.

Подматрица имеет размерность , а подматрица - . Так как, то

.

Подматрица имеет размерность , а подматрица - . Так как, то

.

Используя связь топологических матриц главных контуров с топологическими матрицами главных сечений, найдем:

,

,

,

.

Подматрица имеет размерность:

.

Подматрица имеет размерность:

.

Подматрица имеет размерность:

.

Подматрица имеет размерность:

.

Подматрица имеет размерность. Поскольку, то

.

Подматрица имеет размерность, а подматрица–. Поскольку, то

, .

Подматрица имеет размерность. Поскольку, то

.

Подматрица имеет размерность, Поскольку, то

.

Подматрица имеет размерность. Поскольку, то

.

Группируя полученные топологические подматрицы в соответствии с распределением дуг полюсного графа на y-дуги и z-дуги, найдем

,

,

,

.

За счет отнесения всех С-дуг к у-дугам и всех L-дуг к z-дугам обобщенную компонентную матрицу можно представить в виде:

, (6.57)

где ,- компонентные матрицы параметров реактивных и безреактивных компонентов соответственно.

При записи топологических матриц в подмножестве y-дуг сначала следуют С-дуги, затем – G-дуги и в конце – J-дуги, а в подмножестве z-дуг – сначала E-дуги, затем – R-дуги и в конце – L-дуги, поэтому компонентные матрицы ,имеют вид:

,

,

где - диагональная матрица емкостей; - матрица индуктивностей и взаимных индуктивностей (диагональная, если в схеме отсутствуют индуктивные связи); - матрица проводимостей G-дуг и управляющих проводимостей зависимых источников тока, управляемых напряжениями G-дуг; , - матрицы управляющих проводимостей зависимых источников тока, управляемых напряжениями С-дуг и J-дуг соответственно; , , - матрицы управляющих проводимостей зависимых источников тока, управляемых токами E-дуг, R-дуг и J-дуг соответственно; - матрица сопротивлений R-дуг и управляющих сопротивлений зависимых источников напряжения, управляемых токами R-дуг; , - матрицы управляющих сопротивлений зависимых источников напряжения, управляемых токами E-дуг и L-дуг соответственно; , , - матрицы управляющих сопротивлений зависимых источников напряжения, управляемых напряжениями С-дуг, G-дуг и J-дуг соответственно.

Для рассматриваемой схемы избирательного усилителя матрица имеет порядок:

,

а матрица - порядок:

.

Полюсный граф рис. 6.33 не содержит J-дуг, поэтому компонентная матрица принимает вид:

.

Поскольку схема замещения рис. 6.32 не содержит зависимых источников напряжения, а также зависимых источников тока, управляемых токами G-дуг, E-дуг и L-дуг, то

, ,

, ,

, , .

Зависимый источник тока, управляемый напряжением С-дуги (дуги ) отображается в матрице

,

а зависимый источник тока, управляемый током R-дуги (дуги ) отображается в матрице

.

В результате компонентная матрица имеет вид

.

С учетом представления обобщенной компонентной матрицы выражением (6.57) матрица эквивалентных параметров схемы, соответствующая системе уравнений ветвей для координат, принимает вид:

где - матрица эквивалентных параметров реактивных компонентов схемы; - матрица эквивалентных параметров безреактивных компонентов схемы; ,- обобщенные топологические матрицы.