В результате система вк-уравнений может быть преобразована:

,

откуда

, (6.58)

где - вектор узловых напряжений, равных напряжениям ветвей нормального дерева () и контурных токов, равных токам хорд ();- вектор задающих токов и задающих э.д.с..

Принимая во внимание распределение дуг графа на подмножества и порядок записи топологических матриц, вектор напряжений ветвей дерева, вектортоков хорд и векторзадающих токов и напряжений можно представить в виде:

,

,

,

тогда

Из-за наличия нулевых строк и столбцов в компонентной матрице ранг матрицыменьше ее порядка. После исключения нулевых столбцов из матрицысистему ВК-уравнений (6.58) можно записать

, (6.59)

где ,.

С учетом принятого распределения дуг полюсного графа на подмножества матрица эквивалентных параметров имеет вид:

Из сопоставления матриц ,и векторов,,следует, что в системе ВК-уравнений (6.59) уравненияE-дуг и J-дуг представляют собой тождества, и, следовательно, могут быть исключены путем удаления из матриц соответствующих строк.

После удаления строк для разделения переменных состояния и алгебраических переменных из столбцов матриц и, соответствующих переменным состояния формируют матрицы

, ,

из столбцов матрицы , соответствующих алгебраическим переменным, формируют матрицу

,

из столбцов матриц и, соответствующих задающим токам и э.д.с. независимых источников, формируют матрицы

, .

В результате система ВК-уравнений (6.59) принимает вид:

или

, (6.60)

где ;- вектор переменных состояния;- вектор алгебраических переменных;- вектор задающих токов и э.д.с. независимых источников.

Если матрица неособенная (), то из системы уравнений (6.60) следует:

. (6.61)

Выделяя в выражении (6.61) подматрицы, соответствующие переменным состояния и алгебраическим переменным, получаем уравнение

,

которое разделяется на уравнение состояния в операторной форме

и алгебраическое уравнение

.

Переходя от операторной формы записи уравнений к временной, получаем

,

.

В системе ВК-уравнений рассматриваемой схемы избирательного усилителя вектор напряжений ветвей дерева содержиткомпонентов

,

вектор токов хорд –компонентов

,

а вектор задающих токов и напряжений ветвей и векторнапряжений ветвей дерева и контурных токов –компонентов:

,

Матрицы иимеют размерность

, ,

матрица -

,

матрицы и-

, .

При этом поскольку , то .

Используя матрицы ,,,и, получаем

, (6.62)

где ,,

.

Поскольку , то из (6.62) следует

, (6.63)

. (6.64)

Матрица состояния имеетпорядок и образована из первыхстрок матрицы.

Матрица управления имеет размерностьи образована из первыхстрок матрицы.

Матрица имеет размерностьи образована из последнихстрок матрицы.

Матрица имеет размерностьи образована из последнихстрок матрицы.

В качестве переменных реакции схемы заданы входной ток , выходной токи выходное напряжение, поэтому вектор выходных переменных математической модели в базисе переменных состояния содержиткомпонента:

.

Из схемы замещения избирательного усилителя следует, что . Учитывая положение переменнойв векторе переменных состоянияи используя уравнение состояния (6.63), находим:

, (6.65)

где - вектор размерности, выделяющий составляющуюиз вектора переменных состояния.

Для переменной справедливо, поэтому, принимая во внимание положениев векторе алгебраических переменных и применяя алгебраическое матричное уравнение (6.64), получим:

, (6.66)

где - вектор размерности, выделяющий составляющуюиз вектора алгебраических переменных.

Поскольку , то, используя (6.66), определяем:

. (6.67)

Записывая уравнения (6.65), (6.66) и (6.67) в матричной форме, получаем матричное выходное уравнение в базисе переменных состояния:

или

,

где - матрица выхода;- матрица входа.

Матрица выхода имеет размерность, а матрица входа- размерность.

Таким образом, сформированная математическая модель схемы избирательного усилителя в базисе переменных состояний в обобщенной матричной форме имеет вид:

,

(6.68)

_.

Для получения комплексных частотных схемных функций, соответствующих заданным переменным реакции схемы представим систему уравнений (6.68) в операторной форме, применяя преобразование Фурье:

, (6.69)

. (6.70)

Определяя из уравнения (6.69) вектор и подставляя его в уравнение (6.70), найдем

,

где - матричная комплексная частотная функция.

Матричная комплексная частотная функция в общем случае представляет собой комплексную матрицу, которая имеет размерность :

,

где - комплексная частотная функция для переменной реакциипри переменной воздействия.

При использовании комплексных частотных функций расчет амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик осуществляется по выражениям

,

.

Для схемы избирательного усилителя рис. 6.29 матричная комплексная частотная функция имеет размерность , причем:

,

где - комплексная частотная функция для переменной реакции;- комплексная частотная функция для переменной реакции;- комплексная частотная функция для переменной реакции.

Аналитическое решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка (6.63) имеет вид:

, (6.71)

где - вектор начальных условий переменных состояния в момент времени;- экспоненциальная матрица (матричная экспонента).

При выражение (6.71) приводится к виду

,

а при нулевых начальных условиях ()

. (6.72)

Подставляя (6.72) в выходное уравнение, получим

, (6.73)

где - матричная переходная функция.

Матричная переходная функция в общем случае представляет собой матрицу, которая имеет размерность :

,

где - переходная функция (характеристика) для переменной реакциипри переменной воздействия.

Матричная экспонента от квадратной матрицыn-го порядка представляет собой квадратную матрицу n-го порядка, определяемую рядом Тейлора:

,

где - факториал числа(по определению);-k-ая степень матрицы (по определению- единичная матрицаn-го порядка).

Для практических расчетов матричной экспоненты широко применяется формула Сильвестра, которая в случае простого спектра матрицы (отсутствия кратных собственных чисел) имеет вид:

,

где - собственные числа матрицы;- единичная матрицаn-го порядка.

Наиболее простой вид матричная экспонента принимает для диагональной матрицы , когда

,

то есть матричная экспонента является диагональной матрицей, по главной диагонали которой расположены экспоненциальные функции от элементов (собственных чисел) матрицы .

Для упрощения расчета переходных характеристик матричную экспоненту в выражении (6.73) целесообразно привести к наиболее простому, то есть диагональному, виду. Если собственные числа матрицы состояния различны, то ее можно представить в виде

,

где - диагональная матрица собственных чисел матрицы;- неособенная матрица, столбцы которой представляют собой собственные векторы матрицы. Исходя из определения матричной экспоненты, можно доказать что

.

Тогда общее выражение для матричной переходной функции примет вид:

.

Для схемы избирательного усилителя рис. 6.29 матричная переходная функция имеет размерность , причем:

,

где - переходная функция для переменной реакции;- переходная функция для переменной реакции;- переходная функция для переменной реакции.

Формирование и реализация математической модели избирательного усилителя в базисе переменных состояния в вычислительной системе MathCad

Численные значения параметров компонентов схемы

Параметры полюсного графа

Топологические матрицы главных сечений

Топологические матрицы главных контуров

Компонентные матрицы

Матрицы эквивалентных параметров

Матрично-векторные параметры модели в базисе переменных состояния

Матрично-векторные параметры выходного уравнения

Комплексные частотные функции и частотные характеристики

Графики АЧХ и ФЧХ для переменной реакции

Графики АЧХ и ФЧХ для переменной реакции

Графики АЧХ и ФЧХ для переменной реакции

Матричная переходная функция

Вектор установившихся значений переменных реакций

Переходные функции для переменных реакции

Собственные числа матрицы состояния А

Переходная характеристика для переменной реакции

Переходная характеристика для переменной реакции

в области малых времен

Переходная характеристика для переменной реакции

в области малых времен

Переходная характеристика для переменной реакции

в области больших времен

Переходная характеристика для переменной реакции

в области больших времен

6.3. Творческое задание. Анализ электронной схемы дискретного действия.

Творческое задание направлено на закрепление теоретического материала и приобретение практических навыков по тематическому разделу “Методы анализа дискретных электронных схем”. Варианты творческого индивидуального задания приведены в приложении Б.

Творческое задание предполагает решение одной из поставленных задач:

• Рассчитать переходные и установившиеся процессы в заданной схеме методом припасовывания.

• Рассчитать переходные и установившиеся процессы в заданной схеме методом разностных уравнений.

• Используя метод осреднения пространства состояния, построить логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики заданной электронной схемы для малых отклонений от стационарного режима по следующим схемным функциям: передаточной функции по возмущению управляющего воздействия, передаточной функции по возмущению напряжения питания, выходному сопротивлению.