DifYr

Тип уравнения (1.73) – уравнение с разделяющимися переменными.

Так как @M@y = 0 и @N@x = 0 для всех (x; y) 2 R2, то уравнение (1.73) – уравнение в полных дифференциалах.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Легко видеть, что

x dx - y dy = dx2 - y2: 2

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Следовательно, соотношение

x2 - y2 = C; C 6= 0;

является общим интегралом в R2 n f(0; 0)g.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, семейство гипербол

x2 - y2 = C; C 6= 0;

есть общий интеграл в R2 n f(0; 0)g.

Через начало координат не проходит ни одна интегральная кривая уравнения (1.73).

Начало координат – особая точка, называемая седловиной.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Ответ: x2 - y2 = C; C 6= 0; есть общий интеграл уравнения (1.73) в R2 n f(0; 0)g.

Начало координат – особая точка, называемая седлови-

ной.

y0 = yx

Ответ: x2 - y2 = C; C 6= 0; есть общий интеграл уравнения (1.73) в в R2 n f(0; 0)g.

Начало координат – особая точка "седловина".

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 20. Решить уравнение

(x + y) dx + (y - x) dy = 0:

(1.74)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение.

Так как M(x; y) = x + y; N(x; y) = y - x, то область определения уравнения (1.74) есть всё пространство R2.

Определим тип уравнения.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тип уравнения (1.74) – однородное уравнение.

Так как @M@y = 1, а @N@x = - 1, то уравнение (1.74) не является уравнением в полных дифференциалах.

Попробуем найти интегрирующий множитель.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Будем искать интегрирующий множитель = (z); z = '(x; y). Запишем

	d ln		=	@M@y - @N@x		=		2	:
	dz			@z	@z		@z	@z
				N@x	- M@y		(y - x)@x	- (x + y)@y

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Положим z = '(x; y) = x2 + y2. Тогда

d ln

=

2

= -

1

:

(1.75)

dz

z

-2(x2 + y2)

Решая уравнение (1.75) получим

=

1

:

x

2

2

+ y

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit