DifYr

Для отыскания решений линейного неоднородного уравнения (1.47) применим метод вариации произвольной постоянной. А именно, будем искать решение урав-

нения (1.47) в том же виде (1.52), что и решение соответствующего однородного уравнения.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тогда C придется считать не постоянной, а функцией от x; C = C(x). Эта функция C = C(x) должна быть

такова, чтобы при подстановке

R

y = C(x) e- P(x) dx

и

R R

y0 = C0(x) e- P(x) dx - C(x) P(x) e- P(x) dx

в уравнение (1.47), оно обращалось в тождество на интервале a < x < b.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Для определения функции C(x) получаем уравнение с

разделяющимися переменными:

R

C0(x) e- P(x) dx = Q(x):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Интегрируя его, находим:

ZR

C(x) = Q(x)e P(x) dx dx + C;

где C – произвольная постоянная.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Таким образом:
для любого значения постоянной C функция
y = e- R P(x) dx Z Q(x)eR P(x) dx dx + C	(1.53)

является решением уравнения (1.47);

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

любое решение y~ уравнения (1.47) на промежутке a < x < b можно записать в виде:

y~ = e- P(x) dx e- R P(x) dx			= C(x) e- R P(x) dx;
		y~
	R

а значит, в виде (1.53) при некотором значении постоянной C = C .

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Следовательно, соотношение (1.53) является общим решением уравнения (1.47) в области

f(x; y) 2 R2ja < x < b; y 2 Rg:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Заметим, что общее решение линейного неоднородного уравнения (1.47) в области fa < x < b; y 2 Rg оказывается равным сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

в области f(x; y) решения данного

R

e-

R

C e- P(x) dx

2 R2ja < x < b; y 2 Rg и частного неоднородного уравнения

ZR

P(x) dx Q(x)e P(x) dxdx:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Рассмотренный выше метод вариации произвольной постоянной применяется обычно при отыскании решений линейных неоднородных уравнений.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. При решении практических примеров нецелесообразно пользоваться громоздкой и трудно запоминаемой формулой (1.53), значительно легче запомнить алгоритм нахождения общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения и

каждый раз повторять все приведённые выше вычисления.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit