DifYr

Следовательно,
M(x; '(x))dx + N(x; '(x))d'(x)
	@U(x; '(x))		dx +	@U(x; '(x))		d'(x)
	@x			@y

dU(x; '(x)) 0

на интервале (a; b) или

M('(y); x)d'(y) + N('(y); y)dy
	@U('(y); y)		d'(y) +	@U('(y); y)		dy
	@x			@y

dU('(y); y) 0

на интервале (c; d).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Следовательно, для всех x 2 (a; b) имеем

U(x; '(x)) = C

h i

или U('(y); y) = C для всех y 2 (c; d) , то есть

graf' на интервале (a; b) [(c; d)] является частью двух интегральных кривых:

(x; y) = 0 и U(x; y) = C :

В силу теоремы 1 (Кош´и), через каждую внутреннею точку проходит единственная интегральная кривая, то есть в данном случае:

(x; y) U(x; y) - C в области D:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, U(x; y) = C есть общий интеграл уравнения (1.58) в области D.

Пусть функции M; N : D -! R и их частные производные @M@y ; @N@x : D -! R непрерывны в односвязной области D.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Для того чтобы левая часть уравнения (1.58)

M(x; y)dx + N(x; y)dy

являлась полным дифференциалом некоторой функции U(x; y) в односвязной области D необходимо и достаточно, чтобы

@M(x; y)			@N(x; y)		(1.61)
@y			@x

в односвязной области D.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Фиксируем произвольную точку (x0; y0) 2 D. Если условие (1.61) выполнено в области D (не обязательно односвязной), то, интегрируя первое из уравнений (1.59), имеем

x
U(x; y) = Zx0	M(x; y) dx + '(y):		(1.62)
	x
При вычислении интеграла Rx0		M(x; y) dx	величина y

рассматривается как постоянная, поэтому '(y) является произвольной функцией y.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Дифференцируя тождество (1.62) по y получаем

@U(x; y)		x		@M(x; y)
		= Zx0					dx + '0(y) =
@y				@y
				x @N(x; y)
			= Zx0						dx + '0(y) =
						@x
				= N(x; y) - N(x0; y) + '0(y) = N(x; y):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Отсюда следует, что функция ' есть решение уравнения с разделяющимися переменными

'0(y) = N(x0; y);

одно из решений которого есть

Zy

'(y) = N(x0; y) dy:

y0

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, функция U найдена; приравнивая её произвольному постоянному, получаем общий интеграл уравнения (1.58) в области D:

x		y
U(x; y) Zx0	M(x; y) dx +	Zy0	N(x0; y) dy = C: (1.63)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Примечание. На практике оказывается проще дифференцировать равенство (1.62) по y и, заменяя @U@y извест-

ной функцией N, определить из полученного равенства '0(y), а затем найти '.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 16. Решить уравнение

[cos (x + y) + 2]dx + [cos (x + y) - 5]dy = 0; (1.64)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit