DifYr

Итак, однородное дифференциальное уравнение (1.38) можно записать в виде:

dy				y
		= '						(1.39)
	dx				x
dy =			или				:	(1.40)
			y
dx				x

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Вводя новую неизвестную функцию u = u(x) с помощью подстановки y = u x, перейдём от уравнения (1.39) к уравнению

du

dx

x + u = '(u)

или, что то же, к уравнению

du		=	'(u) - u			(1.41)
dx				x

Это – уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Предположим, что функция '(u) непрерывна на интервале a < u < b и '(u) - u 6= 0. Разделяя переменные в уравнении (1.41) и интегрируя, находим общие интегралы этого уравнения (1.41) в областях fa < u < b; x > 0g

и fa < u < b; x < 0g в виде:

Z Z

du du = dx + C; '(u) - u x

где C – произвольная постоянная.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Заменяя в последнем соотношении вспомогательную функцию u ее выражением через x и y, находим общие интегралы уравнения (1.38) в областях

	y			y
a <			< b; x > 0 и	a <			< b; x < 0 :
	x				x

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Примечание. Если '(u)-u 0 на интервале a < u < b, то уравнение (1.38) имеет вид

ddyx = yx;

т. е. само является уравнением с разделяющимися переменными.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если же '(u) - u не равна тождественно нулю на интервале a < u < b, но есть значение u = u1, a < u1 < b, такое, что '(u1) - u1 = 0. то u = u1 – решение уравнения (1.41), а значит, y = u1 x – решение уравнения (1.38), не входящее в найденную выше совокупность решений.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 11. Решить дифференциальное уравнение

dy	=	x + y	:	(1.42)
dx
		y - x

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Так как f(x; y) = xy+-yx, то область определения уравнения (1.42) есть

domf = R2 n f(x; y) j y = xg:

Определим тип уравнения.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тип уравнения (1.42) – однородное уравнение.

Полагаем yx = u(x); y = u(x) x. Тогда y0 = u0x + u и

	x	du		=	1 + u		- u = -	u2 - 2u - 1		(1.43)
		dx			u - 1			u - 1

– уравнение с разделяющимися переменными.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Разделяя переменные в уравнении (1.43), получим

(u - 1) du		= -	dx	; u2 - 2u - 1	6= 0	(1.44)
u2 - 2u - 1			x

p p

и

u2 - 2u - 1 = (u - 1 - 2)(u - 1 + 2) = 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit