ALGEBRA
.pdfПусть задан ненулевой ~a V3 и O произволь-
ная точка. Откладывая |
от точки O вектор |
|||||||
~e = ~a |
|
· |
|
V3 |
|
−−→ |
|
|
|
1 |
|
|
~a |
|
, получим |
OE. |
|
| |
| |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
1. Через точки O и E проведём прямую П; |
|
|||||||
2. За начало отсчёта на прямой П возь- |
|
|||||||
мём точку O; |
|
|
|
|||||
3. За положительное направление отсчёта |
S |
|||||||
выберем направление, задаваемое геомет- |
рическим вектором ~e ↑↑ ~a;
4. За масштаб на прямой П выберем дли-
−−→
ну отрезка OE.
Пунктами 1 – 4 мы определили ось, которую будем называть
осью определяемой вектором ~a.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Проекцию вектора |
~ |
на ось, определяе- |
|
b V3 |
|||
|
|
|
~ |
мую вектором ~a, будем обозначать пр~a b . |
|||
Легко видеть, что |
|
|
|
~ |
~ |
~ |
(2.3) |
пр~a b = |b| cos (~aˆb). |
|||
|
|
|
|
Замечание. Обратите внимание на то, что базисный вектор оси имеет единичную длину. Проекция вектора на ось
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 68. Дан модуль геометрического вектора |~a| = 4 и угол T (~aˆ~e) = 120◦, где ~e – базисный вектор оси. Вычислить проекцию гео-
метрического вектора ~a на ось.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
2.3.Декартов базис
Понятие угла между двумя векторами в V3, позволяет среди всех базисов линейного про-
странства V3 выделить специальные базисы, состоящие из взаимно ортогональных векто-
ров. Такие базисы обладают хорошими свойствами.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 31. Базис (e~1, e~2, e~3) в V3 называется декартовым базисом, если он состоит из единичных взаимно ортогональных векторов, т.е. e~1 e~2, e~1 e~3, e~2 e~3 и
|e~1| = |e~2| = |e~3| = 1.
Декартов базис пространства V3, принято обо-
значать ~ Координаты вектора, относи-
(~ı,~|, k).
тельно декартова базиса, называются декартовыми координатами.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 14. Декартовы координаты вектора ~a V3, равны ортогональным проекциям этого вектора на оси, определяемые векторами декартова базиса, соответственно.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Пусть задан ~ базис в
(~ı,~|, k)
V3 и O произвольная точка.
Пусть, далее, ~ ~a = x~ı + y~| + zk.
Построим три оси, определяемые базисными
векторами, с общей точкой отсчёта O. S
От точки O отложив вектор ~a получим направ- |
||||||||
|
|
|
|
|
−→ |
|
S |
|
ленный отрезок OA. |
|
|||||||
|
−−→ |
= пр |
−→ |
|
||||
|
OA |
1 |
OA, |
|
||||
|
|
|
|
|
~ı |
−→ |
|
|
Пусть |
−−→ |
= пр |
S |
|||||
OA |
2 |
OA, |
||||||
|
|
|
|
~| |
−→ |
|
||
|
−−→ |
= пр |
|
|
||||
|
OA |
3 |
|
OA. |
|
|||
|
|
~ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
−−→
Направленные отрезки OAn задают вектора b~n, n = 1, 3, причём S
~ |
= (пр~ı~a)~ı, |
~ |
= (пр~| |
~a) ~|, |
~ |
~ |
b1 |
b2 |
b3 = (пр~ |
~a) k. |
|||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
~ |
~ |
~ |
|
Легко видеть, что ~a = b1 |
+ b2 |
+ b3. |
|
В силу единственности разложения вектора по базису (см. теорему 4), имеем,
x = пр~ı~a, y = пр~| ~a, z = пр~ ~a.
k
Теорема доказана.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 15. Имеет место линейное свойство проекции вектора на ось,
~ |
и α, β R выполняется |
|
т.е. ~a, b V3 |
||
|
~ |
~ |
пр~e (α~a + β b) = α пр~e ~a + β пр~e b.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Выберем, декартов базис
~ |
|
(~ı, ~|, k) в V3 так, чтобы ~ı = ~e. |
|
~ |
|
Пусть ~a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2). |
|
В силу теоремы 5, имеем |
|
~ |
+ βz2). |
α~a + βb = (αx1 + βx2, αy1 + βy2, αz1 |
|
Из теоремы 14 следует, что |
|
x1 = пр~e ~a, |
|
~ |
|
x2 = пр~e b, |
|
~ |
|
αx1 + βx2 = пр~e (α~a + βb). |
|
Теорема доказана. |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit