ALGEBRA
.pdfТеорема 16. Декартовы координаты вектора ~a V3 равны произведениям длины этого вектора на косинусы углов между вектором ~a и соответствующими базисными векторами.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Утверждение теоремы следует из теоремы 14 и формулы (2.3).
Пусть ~ фиксированный декартов базис
(~ı, ~|, k)
в V3 и ~a = (x, y, z).
Обозначим через
~
α = (~aˆ~ı), β = (~aˆ~|), γ = (~aˆk).
Тогда
x = |~a| · cos α, y = |~a| · cos β, z = |~a| · cos γ.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 69. В линейном пространстве V3 фиксирован декартов базис |
|
|
|
|
|
||||||
|
T |
|
|
|
|
~ |
Найти проекцию |
|
|
|
|
|
|
(~ı,~|, k) и задан геометрический вектор ~a = (0, −5, 9). |
|
||
|
|
|
|
|
|
вектора ~a на оси определяемые векторами декартова базиса. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Пример 70. В линейном пространстве V3 фиксирован декартов базис |
|||
|
|
|
|
~ |
~ |
|
||
|
T |
|
|
|
||||
|
|
|
|
(~ı,~|, k) и два геометрических вектора ~a = (0, −5, 3) |
и b = (−5, 5, 5). |
|||
|
|
|
|
~ |
|
|
||
|
|
|
|
|
Найти проекцию вектора ~c = 2~a + 2b на оси, определяемые векторами |
декартова базиса.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
2.4.Система координат
Пусть заданы (e~1, e~2, e~3) базис в V3 и точка O. Определение 32. Упорядоченная совокупность (O, e~1, e~2, e~3), состоящая из фиксированной точки O и базиса, называется аффинной системой координат пространства V3. Точка O называется началом системы координат.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 33. Аффинная система координат называется декартовой системой координат, если её базис декартов.
Пусть задана, декартова система координат
~ пространства . Возьмём начало
(O, ~ı, ~|, k) V3
системы координат за общую точку отсчёта трёх взаимно перпендикулярных осей, определяемых базисными векторами. Эти оси назы-
ваются осями декартовой системы координат и им присвоили специальные названия:
ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат, соответственно.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть задана аффинная система координат (O, e~1, e~2, e~3) пространства V3 и точка M.
Определение 34. Вектор−−→~rM , задаваемый направленным отрезком OM, называется радиусом - вектором точки M.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 35. Аффинными (декартовыми) координатами точки M относительно заданной аффинной (декартовой) системы координат называют координаты её радиус - вектора ~rM относительно базиса, входящего в систему координат.
Обозначение: M(x, y, z) – точка M имеет координаты (x, y, z) или ~rM = (x, y, z).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 17. Пусть задана система координат (O, e~1, e~2, e~3) пространства V3 и две точки M(xM , yM , zM ), N(xN , yN , zN ). Обо-
значим через ~a вектор задаваемый направ-
−−→
ленным отрезком MN.
Тогда ~a = (xN − xM , yN − yM , zN − zM ) относительно базиса (e~1, e~2, e~3).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Легко |
M |
|
|
|
видеть, что |
|
~a |
|
|
~a = ~rN − ~rM . |
|
|
||
|
~rM |
N |
|
|
Так как |
|
~rN |
|
|
~rN = (xN , yN , zN ), |
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
~rM = (xM , yM , zM ), |
Рис. 20 |
|
||
то, в силу теоремы 5, |
|
|
||
|
|
|
|
|
~a = (xN − xM , yN − yM , zN − zM ). |
|
|
||
•First |
•Prev •Next •Last •Go Back |
•Full Screen |
•Close •Quit |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Пример 71. В линейном пространстве V3 фиксирована система коорди- |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
нат (O, e~1, e~2, e~3) и даны две точки A(7, 7, −2) и B(9, 9, −9). Направ- |
|
|||||||||
|
T |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
ленный отрезок |
|
−→ |
задаёт геометрический вектор ~a |
= ( |
) |
. Найти |
|
|||
|
|
|
|
|
|
AB |
|
x, y, z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
координаты вектора ~a. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Пример 72. В линейном пространстве V3 фиксирована система коорди- |
|
|||||||||
|
|
|
|
нат (O, e~1, e~2, e~3). Откладывая от точки M(3, −6, −2) геометрический |
|
||||||||||
|
T |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
~a = (9, |
− |
8, 3) |
|
−−→ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
вектор |
|
|
|
|
получим направленный отрезок MN. Найти коор- |
|
||||
|
|
|
|
|
динаты точки N(x, y, z). |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Пример 73. В линейном пространстве V3 фиксирована система коор- |
|||||||||||
|
|
|
динат (O, e~1, e~2, e~3). Откладывая от точки M(x, y, z) |
геометрический |
|||||||||||
|
T |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
~a = (5, |
− |
3, 2) |
−−→ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
вектор |
|
|
|
|
получим направленный отрезок MN. Зная коорди- |
наты точки N(−2, 2, 4) найти координаты точки M(x, y, z).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit