ALGEBRA

Аксиома A4: Пусть ~a произвольный геомет-

рический вектор. Определим вектор ~ следую- b

щими условиями:

	~	~
	|b| = |~a|, b ↑↓ ~a.
		~	~
Тогда, очевидно, что ~a + b = 0, т.е. геометри-
ческий вектор	~	является противоположным
	b

вектору ~a.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Операция умножения вектора на число.

Произведением вектора ~a на число λ называется вектор ~c (пишут ~c = λ~a), если:

1. ~c = λ~a↑↑~a при λ > 0, ~c↑↓~a при λ < 0,

~ при

~c = λ~a = 0 λ = 0.

2. |~c| = |λ||~a|.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Из определения следует, что два ненулевых

коллинеарных вектора и ~ отличаются чис-

~a b

ловым множителем, то есть ~

b = λ~a.

Нетрудно убедиться, что аксиомы 5 – 8 линейного пространства выполняются. Линейное пространство геометрических векторов обозначают буквой V3.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Размерность пространства V3.

Пусть П и π произвольные фиксированные прямая и плоскость, соответственно. Обозначим через V1(П) множество геометрических векторов коллинеарных прямой П, а через

V2(π) множество геометрических векторов

компланарных плоскости π. Очевидно, что

V1(П) V3 и V2(π) V3 линейные подпространства пространства V3.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 7.	~
	Два ненулевых вектора ~a, b V3

линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть

~
~a, b V3 линейно зависимы. Тогда, по теоре-
ме 1 следует, что				~	~
			~a = λb и ~a k b.
				~
Достаточность. Пусть ~a, b V3 ненулевые и
~a ~b. Тогда ~a =		|a|	·	~b, если ~a	↑↑	~b и ~a =	|a|	~b,
||	~	|b|					−|b| ·
если ~a	↑↓ b. Отсюда, по теореме 1, следует,

~	линейно зависимые.
что векторы ~a, b V3

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Следствие 7.1. Eсли два ненулевых вектора неколлинеарны, то они и линейно независимы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 8. dimV1(П)= 1.

Доказательство. 1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима.

2. Любые два вектора из V1(П) коллинеарны и поэтому, в силу теоремы 7, линейно зависимы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Любой ненулевой вектор ~e V1(П) можно взять в качестве базиса, а произвольный вектор ~x V1(П) разложить по базису: ~x = x1 ·~e, где x1 – координата вектора ~x относительно базиса ~e. Каждый вектор ~x V1(П) можно задать его координатой относительно фиксированного базиса ~e V1(П):

~x = (x1)~e.

Eсли базис фиксирован и не меняется, то пишут ~x = (x1).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 9. dim V2(π) = 2.

Доказательство. 1. Два неколлинеарных вектора из V2(π) линейно независимы.

2.	Возьмем	три произвольных вектора
~a,	~	Возможны два случая.
	b, ~c V2(π).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

a) Среди векторов ~ есть пара

~a, b, ~c V2(π)

коллинеарных, например, векторы ~

~a, b V2(π)

коллинеарные вектора. Тогда, по теореме 7,

система ~ – линейно зависима. В силу тео-

~a, b

ремы 2, система векторов ~ линейно за-

~a, b, ~c

висима.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit