ALGEBRA
.pdfПусть f1, f2, . . . , fn – базис, а x – произвольный вектор линейного пространства Ln. Система векторов
x, f1, f2, . . . , fn
линейно зависима, так как она состоит из (n + 1) вектора n - мерного линейного пространства. По определению 8, c0, c1, . . . , cn R, среди которых хотя бы одно не равно нулю, такие что
ñ0x + c1f1 + · · · + cnfn = 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Число c0 6= 0, иначе система f1, f2, . . . , fn оказалась бы линейно зависимой (а это базис). Поэтому можно записать
|
c1 |
|
c2 |
|
cn |
|||
x = − |
|
f1 |
− |
|
f2 |
− · · · − |
|
fn. |
c0 |
c0 |
c0 |
Вектор x представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Eдинственность докажем методом от противного.
Предположим, что
x = λ1f1 + λ2f2 + · · · + λnfn |
(1.7) |
и
x = µ1f1 + µ2f2 + · · · + µnfn, |
(1.8) |
причём
(λ1 − µ1)2 + (λ2 − µ2)2 + · · · + (λn − µn)2 6= 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Вычитая (1.8) из (1.7), получим
(λ1 − µ1)f1 + (λ2 − µ2)f2 + · · · + (λn − µn)fn = 0.
Так как система f1, f2, . . . , fn линейно независима (это базис), то
(λ1 − µ1) = 0, (λ2 − µ2) = 0, . . . , (λn − µn) = 0,
что противоречит нашему предположению.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть (f) = (f1, f2, . . . , fn) - фиксированный ба-
зис Ln. Из теоремы 4 следует, что
x Ln !(x1, x2, . . . , xn) Rn, такая что
x = x1f1 + x2f2 + · · · + xnfn.
Определение 11. Выражение
x = x1f1 + x2f2 + · · · + xnfn
называется разложением вектора x по бази-
су (f) = (f1, f2, . . . , fn), а числа x1, x2, . . . , xn
называются координатами вектора x относительно базиса (f) = (f1, f2, . . . , fn).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 5. При сложении векторов их координаты относительно одного и того же базиса складываются, а при умножении на число – умножаются на число.
( Теорему доказать самостоятельно).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Задачи для практических занятий.
Пример 28. Показать, что dim Rn = n. (Указание: см. примеры 19,20).
Пример 29. Показать, что dim P≤n = n + 1. (Указание: см. задачи 12,23).
Пример 30. Показать, что линейное пространство F(a, b) бесконечно мерное. (Указание: см. задачи 11,24).
Пример 31. Показать, что dim M23(R) = 6. (Указание: см. задачи 25,26).
Пример 32. Показать, что dim Mmn (R) = m · n. (Указание: см. задачи 6,27).
Пример 33. Показать, что dim L0 = n − 1. (Указание: см. задачи 8,22,18).
Пример 34. Пусть Ln – произвольное линейное пространство. Покажите, что dim (Ln×Ln) = 2n.
(Указание: см. задачу 4).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
1.4. |
Линейное подпространство |
Пусть L линейное пространство и L подмно- |
|
жество L, L L. |
|
Определение 12. Когда на подмножестве L |
|
L введена линейная структура операциями, |
|
определёнными в линейном пространстве L, |
|
то L называется линейным подпростран- |
|
ством пространства L. |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |
Задачи для практических занятий. |
|
Пример 35. Пусть «+» и «·» операции, определённые в L. Для того чтобы |
|
L L было линейным подпространством L необходимо и достаточно, чтобы |
|
α, β R и x, y L : |
|
α · x + β · y L . |
|
Пример 36. Показать, что множество L из примера 2 есть линейное подпро- |
|
странство R3. |
|
Чему равна dim L? |
|
Пример 37. Показать, что множество L из примера 3 есть линейное подпро- |
|
странство Rn. |
|
Чему равна dim L? |
|
Пример 38. Множество R+ из примера 10 не является линейным подпростран- |
|
ством R. Покажите, что на множестве R+ вводится линейная структура, если |
|
операции определить следующим образом: |
|
1. x, y R+ положим |
опр. |
x y = x · y |
|
(операция сложения); |
|
2. x R+ и α R положим |
опр. |
α x = xα |
|
•First |
•Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |
(операция умножения). |
|
Пример 39. Показать, что множество L0 из примера 8 есть линейное подпро- |
|
странство Rn. |
|
Чему равна dim L0? |
|
•First |
•Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |