ALGEBRA

Обозначим через

Ci = {z C|z = (0, y), y R} C.

Элементы множества Ci, как упорядоченные пары, изображаются точками оси Oy координатной плоскости πR2. Возьмём (0, 1) Ci. Tогда

3.	(1.11)	−1,
(0, 1)(0, 1) = (−1, 0)	=

т.е. точками оси Oy изображаются комплексные числа, обладающие свойством – число, умноженное на себя, даёт действительное отрицательное число. Действительные числа такого свойства не имеют (квадрат любого действительного числа есть неотрицательное число). Число (0, 1) Ci называют мнимой единицей и обозначают i: (0, 1) ≡ i. Tогда

z = (0, y) Ci : z = (0, y) = y · (0, 1) = yi.

Tак как точками оси Oy координатной плоскости πR2 изображаются мнимые (не действительные) числа, то ось Oy называют МНИМОЙ ОСЬЮ.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть z = (x, y) C. Tогда

z= (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + yi

–алгебраическая форма записи комплексно-

го числа. Число x R называют действительной частью комплексного числа z = (x, y) = x + yi, а y R мнимой частью и обо-

значают, соответственно, x = Rez, y = Imz. Геометрической интерпретацией пространства

комплексных чисел C является плоскость с введёнными на ней двумя осями – действи-

тельной и мнимой, пересекающихся под прямым углом. Tакую плоскость называют КОМ-

ПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТЬЮ.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Часто действительную ось совмещают с осью Ox, а мнимую ось с осью Oy декартовой системы координат Oxy. Тогда каждая точка такой плоскости является одновременно и изображением точки пространства R2 и изображением комплексного числа. Обозначим такую плоскость через πR2z.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Между точками M(x, y) πR2z такой плоско-

−−→

сти и направленными отрезками OM устанав-

ливается взаимно однозначное соответствие:

−−→

M(x, y) OM,

где O – начало фиксированной декартовой системы координат Oxy. Получаем ещё одну

геометрическую интерпретацию комплексного

−→

числа z как направленного отрезка Oz.

−→

Однако каждый направленный отрезок Oz можно определить не только координатами

его конца z = (x, y), но и его длинной и направлением.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

−→

Направление направленного отрезка Oz будем задавать углом ϕ между положительным

направлением действительной оси и направ-

−→

ленным отрезком Oz. Угол ϕ будем называть

аргументом комплексного числа z и обозна-

чать Argz. Длину же направленного отрезка

−→

Oz будем обозначать r или |z| и называть мо-

дулем комплексного числа z.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть M(x, y)		точка лежащая на плоскости
πR2z.
y	πR2z	Tогда
		x = r cos ϕ,
	M(x, y)
	z = (x, y)
	r	y = r sin ϕ.
	ϕ
O	x
	Рис. 8
Cледовательно
	z = (x, y) = x + iy = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
Условимся, выражение cos ϕ + i sin ϕ обозна-
чать символом eiϕ.
		•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen	•Close •Quit

Tогда имеем пять форм записи комплексного числа:

z – сокращённая форма записи;

(x, y) – запись в виде упорядоченной пары; x + iy – алгебраическая форма записи;

|z|(cos ϕ + i sin ϕ) – тригонометрическая форма записи;

|z|eiϕ – показательная форма записи.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Каждая форма записи не отражает полностью

всех свойств комплексных чисел и не может быть взята за определение комплексного числа.

Напомним, что комплексное число это элемент пространства C.

Разные формы записи используются при ра-

циональном выполнении операций над ком- плексными числами.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Алгоритмы перехода от одной формы записи к другой.

Пусть

z = (x, y) = x + iy = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) = |z| eiϕ.

Тогда (x, y) 6= (0, 0):

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ,

s						x			y
		2	2
r =	x		+ y	, cos ϕ =			, sin ϕ =			.
					s			s
						x2 + y2			x2 + y2

Если же x 6= 0, то последние два соотношения равносильны одному:

tg ϕ = xy.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 23. Главным значением аргумента комплексного числа z , обозначаемым через arg z, называется значение аргумента, удовлетворяющее условиям:

−π < arg z ≤ π или 0 ≤ arg z < 2π.

Очевидно, что

Arg z = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . . .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit