4. ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

4.1. Общее описание процессов

Динамические процессы в стандартной системе автоматического управления, структурная схема которой приведена на рис. 3.1, описываются во временной области дифференциальным уравнением

D( p) y(t) = KN ( p)v(t) + R( p) f (t)	(4.1)
или в области изображений выражением
Y (s) = F(s)V (s) + F f (s)F (s) .	(4.2)

Выходной сигнал y(t) замкнутой системы, являющийся решением линейного дифференциального уравнения (4.1), может возникнуть в системе либо за счет внешних воздействий v(t) или f(t), либо за счет вариации начальных условий переменной y(t) и ее производных. Составляющую выходного сигнала, обусловленную ненулевыми начальными условиями переменной y(t) и ее производных, будем называть свободной и обозначать yС(t), а составляющие, обусловленные сигналами v(t) и f(t), – вынужденными и обозначать соответствен-

но yvв(t) и yfв(t). Тогда процесс y(t), являющийся решением линейного дифференциального уравнения (4.1), определяется выражением

y(t) = yС (t) + yв(t) = yС (t) + yvв(t) + yfв(t),

(4.3)

где yв(t) = yvв(t) + yfв(t).

В математике yС (t) называют общим решением уравнения (4.1) без правой части (однородного уравнения), a yв(t) – частным решением уравнения (4.1) с правой частью (неоднородного уравнения).

Общее решение однородного уравнения в случае простых(различных)

корней характеристического уравнения D(l) = 0 ,

которые обозначим через

l1,..., ln , определяется выражением

y

c

(t)

= C el1t

+ L + C

n

elnt

,

(4.4)

1

где Сi – произвольные

постоянные,

определяемые

через

начальные

условия

y(0), y(1) (0),..., y(n -1) (0).

Если характеристическое уравнение D(l) = 0 имеет один кратный корень,

например,

l1

кратности r, а остальные lr +1,..., ln – простые, то общее решение

будет иметь вид

y

l t

l t

t

r -1

l t

e

l

t

+ L + C

e

l

n

t

. (4.5)

c

(t) = C e 1 + C

te 1 + L + C

e

1 + C

r

r+1

n

1

2

r

+1

В случае нескольких кратных корней в свободной составляющей будут появляться аналогичные группы слагаемых, соответствующие каждому кратному корню.

38

Для вычисления вынужденной составляющей обратимся к уравнению относительно изображений (4.2). Обозначим весовые функции замкнутой си-

стемы по	управляющему сигналуj(t) = L-1{F(s)} и по		возмущению
j f (t) = L-1{F f	(s)}, тогда переходя в(4.2) к	оригиналам, с учетом того, что
произведение изображений есть свертка во временной области, получим
	t	t
yв(t) = yvв(t) + yfв(t) = òj(t - t)v(t)dt + òjf (t - t) f (t)d t.			(4.6)
	0	0
Таким образом, полное решение y(t) дифференциального уравнения будет
иметь вид
	t	t
y(t) = C1el1t +L+ Cnelnt + òj(t - t)v(t)d t +òjf (t - t) f (t)dt.			(4.7)
	0	0

В случае нулевых начальных условий ( y(0) =... = y(n -1) (0) = 0 ) все Ci = 0 и

(4.7) превращается в соотношение (4.6).

При исследовании систем управления обычно ограничиваются внешними воздействиями определенного типа, что дает возможность ввести некоторые показатели качества процессов управления и оказывается удобным для сравнительного анализа проектируемых систем. Наиболее часто сигнал управления v(t) (то же самое и для возмущения f (t) ) задают в виде типового сигнала следующего вида:

v(t) = d(t) – дельта-функция;

v(t) = v01[t] – ступенчатая функция амплитуды v0 (скачок по положению); v(t) = v1t – скачок по скорости;

v(t) = v2t2 – скачок по ускорению;

v(t) = v0+v1t + v2t2 +…+ vktk – полиномиальное воздействие;

v(t) = A0 sin w t – гармоническое воздействие, где А0 амплитуда, wt – фаза, w – частота;

v(t) = A0e jwt – гармоническое воздействие в комплексной форме.

В этих выражениях сигналы определены при t > 0 и paвны нулю при t < 0 ,

a vi = const, A0 = const, w = const.

Выбор того или иного сигнала зависит от вида системы и условий ее функционирования. Например, для систем стабилизации наиболее естественной формой управляющего воздействия является ступенчатая функция. Для следящих систем таковыми являются сигналы гармонического типа.

Наиболее часто динамические свойства системы оцениваются по ее реакции на единичную ступенчатую функциюv(t) = 1[t], т. е. по виду выходного сигнала y(t) , являющегося переходной функцией замкнутой системы hЗ (t).

На рис. 4.1 представлен наиболее типичный вид переходной функции h(t), где hy – установившееся значение выходной координаты.

39

Для оценки качества регулирования по виду hЗ(t) вводят следующие показатели качества:

tр – время регулирования (время переходного процесса), это время, после которого величина h(t) - hy < D,

где обычно ∆ = 5 % от hy;

Рис. 4.1

s =[(hmax -hy )/ hy ]×100% – пере-

регулирование в процентах; w = 2p / T – частота колебаний переходного процесса;

число колебаний за время переходного процесса.

Наиболее важными показателями качества являютсяtр и s . Величина tр может изменяться в широких пределах в зависимости от вида системы управления. Перерегулирование обычно лежит в пределах от0 до 30%. Число колебаний за время регулирования обычно1 – 2, а иногда 3 – 4. В некоторых слу-

	чаях колебания недопустимы.
	По виду функции hЗ(t) процессы делятся			на	три	категории(рис. 4.2):
	монотонные (1), апериодические (2) и колебательные (3).					процессов h(1)(t) не
		У	монотонных
		меняет знак, у апериодического процесса
		знак	производной			h(1) (t) изменяется
		только один раз, у колебательного – бес-
		конечное число раз.
		Вычисление			процессов в		замкнутой
		системе фактически				представляет собой
		задачу	решения			дифференциального
	Рис. 4.2	уравнения		(4.1)	при	заданных	входных
		воздействиях v(t) и f(t) и начальных усло-

виях. Существующие методы решения этой задачи можно разбить на две категории: аналитические методы и методы моделирования на ПЭВМ.

Пример 4.1. В системе (см. рис. 3.1) будем полагать W1 (s) = K1 /(T1s +1) ;

W2 (s) = K2 / s ; Т1 = 0,01 [c]; K1 = 10; K2 = 0,475, где К1 и К2 имеют соответству-

ющую размерность.

Найдем выражение, связывающее выходной сигнал y с внешними воздействиями v и f. Для определения свободной составляющей(произвольных Сi) воспользуемся операционным методом решения дифференциального уравнения.

Выражение (4.2) будет иметь вид

	K1K2			K2	(T1s +1)
Y (s) =			V (s) +			F (s) ,
	s(T1s + 1)	+ K1K2
				s(T1s +1) + K1K2

40

из которого дифференциальное уравнение замкнутой системы(4.1) будет

T1 y(2) + y(1) + K1K2 y = K1K2 v +K2T1 f (1) + K2 f .

Будем полагать начальные условия для выходного сигналаy(0), y(1) (0) ненулевыми, а для входных сигналов– нулевыми. Применим к дифференциальному уравнению преобразование Лапласа.

T1[s2Y (s) - sy(0) - y(1) (0)] +[sY (s) - y(0)] + K1K2Y (s) = K1K2V (s) + K2T1sF(s) + K2F(s),

откуда

Y (s) = T1s2 + s1+ K1K2 [(1 + T1s) y(0) + T1 y(1) (0) + K1K2V (s) + K2 (T1s +1)F (s)].

Полученное выражение отличается от первоначального в этом примере наличием членов, учитывающих ненулевые начальные условия. С учетом заданных параметров T1, К1, K2 будем иметь

Y (s) =

1 + 0,01s

y(0) +

1

y(1) (0)

+ F(s)V (s)

+ F f (s)F (s),

0, 01(s2 +100s + 475)

s2 +100s + 475

где F(s) =

475

,

F f (s) =

47,5(0,01s +1)

.

s2 +100s + 475

s2 +100s + 475

Применяя

обратное

преобразование

Лапласа, получим

в области

оригиналов

é

95

5

ù

é

1

1

ù

y(t) = ê

e-5t -

e-95t

ú y(0)

+ ê

e-5t -

e-95t ú y(1) (0)

+

90

90

90

90

ë

û

ë

û

t

t

+òj(t - t)v(t)d t +òj f (t - t) f (t)dt,

0

0

-1

475 é

-5t

-95t ù

-1

é

95

-5t

где j(t) = L {F(s)}=

ëe

-e

û

,

jf (t) = L

{Ff (s)} = 0,475

ê

e

-

90

90

ë

5 e-95t ù.

90 ú

û

4.2. Аналитические методы вычисления процессов

Аналитические методы вычисления выходного сигнала замкнутой системы базируются на известных методиках решения дифференциальных уравнений. Решение (4.1) классическими методами во временной области приводит к соотношению (4.7). Зная j(t), j f (t) , внешние воздействия v(t), f(t) и интегри-

руя (4.7), можно вычислить реакцию системы y(t). Такой подход редко используется в практике теории управления, а выражение (4.7) в большей степени применяется в теоретических выкладках.

На практике решение уравнения(4.1) чаще всего осуществляют с помощью операционного исчисления на базе преобразования Лапласа, т. е. за основу принимают выражение (4.2).

41

Рассмотрим методику вычисления реакции системы на внешнее воздействие v(t) при нулевых начальных условиях координаты у(t) и ее производных. В этом случае связь изображений входа и выхода будет иметь вид

Y (s) = F(s)V (s),

(4.8)

где в общем случае F(s) = KN (s) / D(s), N(s) и D(s) – полиномы степени m и n соответственно.

Вычисление составляющей f fв (t) , обусловленной возмущением f(t), будет аналогичным с использованием передаточной функции F f (s) .

В (4.8) изображение V(s) для большинства типовых воздействий представляет собой дробно-рациональную функцию, т. е. также является отношением некоторых полиномов относительно s. Таким образом, изображение Y(s) в этом

случае будет иметь следующий вид: Y (s) = KN (s) V (s) = M (s) , где степень по-

D(s) Q(s)

линома M(s) меньше степени полинома Q(s), которую обозначим через r и в общем случае r > n .

Вычисление оригинала y(t) по его изображению осуществляется по формулам разложения Xевисайда. Если полюса изображения Y(s), являющиеся

корнями уравнения Q(l) = 0 , которые обозначим l1,..., lr , являются									различ-
ными, то оригинал y(t) определяется выражением
				r		M (l	)	elit ,
				y(t) = å		i			(4.9)
						Q¢(li )
				i =1
где Q¢(li ) =	d	Q(s)		s=li , M (li )=M (s)		s=li .
	ds

B случае кратных полюсов для вычисления оригинала y(t) используется выражение на основе вычетов [6].

Если входной сигнал v(t) = 1[t], то V (s) = 1 , а изображение реакции си- s

стемы в соответствии с (4.8) примет такой вид: Y (s) = KN (s) . sD(s)

Реакция системы в этом случае будет не чем иным, как переходной функцией замкнутой системы hЗ(t), которая как частный случай(4.9) будет вычисляться по выражению

	KN (0)	n	KN (l	)	l t
hз (t) =		+ å	i		e i	,	(4.10)
			¢
	D(0)	i=1 li D (li )

где li – различные корни характеристического уравнения замкнутой системы.

Следует отметить, что случай кратных корней при исследовании систем управления встречается сравнительно редко.

42

В (4.10) KN (0) D(0) характеризует так называемую установившуюся со-

n

ставляющую, а å(×) – переходную составляющую. И в общем случае в (4.9)

i=1

для произвольного процесса y(t) можно всегда выделить две составляющие: установившуюся y у (t) и переходную yn (t) . Частным случаем установившейся

составляющей является случай, соответствующий y у = const , которую будем называть статической составляющей. Для асимптотически устойчивых си-

	стем (это понятие будем рассматривать в разд. 5)			всегда	lim y	п (t) = 0 и при
	больших значениях t реакция системы y(t) = y у (t) .				t ®¥
	Отметим, что так как в(4.10)	KN (li )	– это	постоянные		величины, то
		li D¢(li )
	структура переходной составляющей yп (t)		идентична		структуре свободной

составляющей yC (t) (4.4).

Реакция системы y(t) на входной сигнал v(t) при нулевых начальных усло-

t

виях определяется выражением y(t) = òj(t - t)v(t)d t.

0

Для вычисления установившейся составляющей можно воспользоваться выражением [1]:

t ¥

yy (t) = ò j(t - t)v(t)dt = òj(t)v(t - t)dt.		(4.11)
-¥	0

При гармоническом входном сигнале для вычисления установившейся составляющей можно использовать частотные характеристики системы. Пусть на входе системы v(t) = A0 sin w0t , тогда установившееся значение выходного

сигнала будет также гармоническим сигналом и может быть вычислено						по
выражению
yy (t) = A0		F( jw0 )		sin(w0t + j(w0 )) ,	(4.12)

где F( jw0 ) – значение АЧХ, a j(w0 ) = argF( jw0 ) – значение ФЧХ замкнутой системы при w = w0 .

Пример 4.2. Рассмотрим систему управления, структура которой пред-

ставлена на рис. 3.1. Как и в предыдущем примере,

W

(s) =

K1

, W (s) =

K2

.

1

T1s + 1

2

s

Пусть Т1 = 0,01 [c]; K1 = 10; K2 = 0,475. Входной сигнал v(t) = 1[t].

С

учетом

изображения

входного

сигналаV (s) =

1

найдем

s

475

1

KN (s)

Y (s) =

×

=

.

s2 +100s + 475

s sD(s)

43

Используя

(4.10) с

учетом того, что

характеристическое

уравнение

l2 +100l + 475 = 0

имеет

два

различных

корняl1 = -5 ,

l2 = -95 ,

получим

y(t) = h (t) =1 +

é-

19

e-5t +

1

e-95t ù .

з

ê

18

ú

ë 18

û

Из полученного выражения следует, что переходная составляющая с тече-

нием времени затухает, а установившаяся – постоянна и равна единице.

Вычислим установившуюся составляющую выходного сигнала при гар-

моническом входном сигнале v(t) = A0 sin w0t ,

w0 = 10 [рад/c], Т1 =

0,25 [c],

100

K1K2 = 25. Передаточная функция имеет вид F(s) =

, откуда, заме-

s2 + 4s +100

няя s на jw, получим

F( jw)

=

100

, jз (w) = -arctg

4w

.

(100 - w2 )2 +16w2

p

100 - w2

o

При w = w0

=10

значения

F( j10)

= 2,5

и jз (10) @ -90

=

рад. Tаким об-

2

разом, установившееся

значение

выходного

сигнала

будет

равн

yУ (t) = 2,5A0 sin(10t - p) . 2

Применение аналитических методов на практике ограничено из-за необходимости вычисления корней характеристического уравнения, построения по найденному аналитическому выражению переходной функции, нахождения показателей качества системы (tР, s и др.). Чтобы обойти эти трудности, были разработаны приближенные графические методы построения переходной функции, вытекающие из связи hЗ(t) с вещественной частотной характеристи-

кой замкнутой системы R(w) :

h (t) =	2	¥	R(w)sinwt	dw.	(4.13)
	p
з		ò	w
		0

Выражение (4.13) положено в основу приближенных графических методов построения hз (t). Суть этих методов заключается ваппроксимации характеристик R(w) и вычислении соответствующих составляющих переходного процесса. Например, Вороновым А. А. был предложен метод аппроксимации R(w) с помощью треугольных, а Солодовниковым В. В. – с помощью трапецеидальных характеристик.

Однако в связи с развитием вычислительной техники в настоящее время графо-аналитический метод вычисления переходной функции утратил свое прежнее значение. Переходной процесс любой САУ легко строится вMatlab с помощью стандартных функций или с использованием средстваSimulink после создания соответствующей математической модели исследуемой системы.

44