8.4. Нормальная форма уравнений состояния одномерной системы

Пусть динамика одномерной системы, имеющей один вход и один выход, описывается дифференциальным уравнением

a	0	y(n) + a y(n -1)	+ ... + a	n	y = b v(m) + b v(m -1)		+ ... + b v,	(8.16)
		1			0	1	m

где y, v Î R , a0 º1.

Требуется найти уравнения состояния (8.3) в нормальной форме, эквивалентные уравнению (8.16).

Задача легко решается для частного случая (8.16), если m = 0, т. е. правая

часть (8.16) будет			иметь			вид b0v .			В (8.16)		сделаем замену переменных
y = x , y(1) = x	2	,..., y(n -1) = x		n	. Дифференцируя последовательно каждое равен-
1
ство, получим
			ìx&			= y(1) = x				,
			ï		1				2	,
			ïx&			= y(2) = x
			ï		2				3
			í× × × × × × × × × × × × × × × × ×
			ïx&			-1	= x	,
			ï		n			n	- ... - a x		+ b v,
			ïx			= -a x
			î		n		n 1			1 n	0

где последнее соотношение соответствует уравнению(8.16). Полученную си-

стему с учетом y = x1	запишем		в виде	уравнений состояния в			нормальной
форме:
	é 0	1	× × × 0 ù		é 0 ù
x& =	ê ×	×	× × × × ú x +		ê M úv , y = [1,0,..., 0]x ,		(8.17)
	ê 0	0	× × × 1 ú		ê 0 ú
	ê		ú		ê	ú
	ë-an -an-1		× × × -a1 û		ëb0	û

где, как обычно, x = col[x1,..., xn ] .

Если в (8.16) m > 0, то также можно получить уравнения состояния в нормальной форме. Вывести их несколько сложнее, поэтому дадим конечный результат. Для удобства будем в (8.16) полагать m = n. Очевидно, если m < n, то ряд первых коэффициентов b0 , b1,... будет равен нулю. Уравнения состояния в этом случае будут иметь следующий вид:

é 0		1	×	×	×	0	ù	éb1		ù
ê	×	×	×	×	×	×	ú	ê	M	ú	y = [1,0,...,0]x + b0v . (8.18)
x& = ê	0	0	×	×	×	1	úx + ê			úv,
ê							ú	ê	M	ú
ë- an		- an -1	× × × - a1 û					ëbn û
Коэффициенты bi			определяются из решения системы линейных алгебра-

ических уравнений, записанных в векторно-матричной форме:

93

é 1

êa1 êêa2

ê × êëan

×0

××

×	×	×
×	a2	a1

ù	éb0			ù	éb0			ù
ú	êb			ú	êb			ú
ú	ê		1	ú	= ê	1		ú .	(8.19)
		×				×
ú	ê	×		ú	ê	×		ú
ú	ê			ú	ê			ú
1`ú	êb		n	ú	êb			ú
û	ë			û	ë		n û

Из (8.19) следует, что b0

= b0 , a1b0

+ b1 = b1 , a2b0 + a1b1 + b2 = b2 ,…, от-

куда последовательно находятся b0 , b1 ,… .

Для физически реализуемых систем m < n и b0

= 0 .

Пример 8.5. Рассмотрим замкнутую систему управления стандартной

структуры

(см.

рис.

8.1),

где

будем

полагатьW (s) =

K1 (t1s + 1)

,

1

T1s + 1

K2

W2

(s) =

, f

= 0 , K1K2 = 500 , t1

= 0,03 с, T1 = 0,1с, T2 = 0,006 с.

s(T2s +1)

Передаточная функция разомкнутой системы будет равна

W (s) =

K1K2 (t1s + 1)

=

500(0,03s + 1)

.

s (T1s + 1)(T2s + 1)

s(0,1s + 1)(0,006s + 1)

Найдем дифференциальное уравнение разомкнутой системы, связываю-

щее y и e: y(3) +176,6 y(2) +1666y(1) = 25 ×103 e(1) + 0,83×106 e .

Коэффициенты

этого

уравнения a1 =176,6 ,

a2 = 1666 , a3 = 0 ,

b0 = 0 ,

b = 0 , b = 25 ×103 ,

b

= 0,83 ×106 .

1

2

3

Уравнение для определения bi имеет следующий вид:

é 1

0

0

0ù éb

0

ù

é

0

ù

ê

1

0

ú

ê

ú

ê

0

ú

ê176,6

0ú

êb1 ú

ê

ú

ê

176,6

1

ú

ê

ú =

ê

25 ×10

3

ú ,

ê1666

0ú

êb

2 ú

ê

ú

ê

0

1666

176,6

1ú

êb

ú

ê0,83 × 106

ú

ë

û

ë

3 û

ë

û

откуда b

0

= 0 ,

b = 0 , b

2

= 25 ×103 , b

3

= -3,75 ×10

6 .

1

Итак, уравнения состояния разомкнутой системы в нормальной форме

имеют вид

é0

1

0

ù

é

0

ù

y = [1, 0, 0] x .

(8.20)

x& = ê0

0

1

ú x + ê

25 ×103

úe ,

ê0

-1666

-176,6ú

ê

6 ú

ë

û

ë-3,57 ×10

û

94

Для получения уравнений состояния замкнутой системы учтем уравнение

замыкания

e = v - y = v - [1,0,0]x ,

после

подстановки

которого

в(8.20)

получим

é

0

1

0

ù

é

0

ù

x& =

ê

3

0

1

ú

ê

25 ×10

3

ú

y

= [1,0,0] x .

(8.21)

ê- 25 ×10

úx +

ê

úv ,

ê3,57 ×106

-1666

-176,6ú

ê- 3,57 ×10

6 ú

ë

û

ë

û

Уравнения состояния замкнутой системы(8.21) уже не являются уравнениями в нормальной форме.

8.5. Каноническая форма уравнений состояния одномерной системы

Для получения уравнений состояния одномерной системы в канонической форме используется передаточная функция системы. Будем полагать, что система описывается дифференциальным уравнением(8.16), которому соответ-

ствует передаточная функция W (s) =

Y (s)

=

b0 sm + b1s m -1 + ... + bm

, m < n .

V (s)

a

sn + a sn -1

+ ... + a

n

0

1

Пусть характеристическое уравнение системы имеетn различных корней

l1 ,..., ln , тогда передаточную функцию можно представить в виде

W (s) =

b1

+ ... +

bn

, bi

= (s - li )W (s)

. (8.22)

s - l1

s - ln

bi

s = li

n

Очевидно, что в этом случае Y (s) = å

V (s) .

- li

biV (s)

i =1 s

n

Обозначим

= X i (s) , тогда (s - li ) X i (s) = biV (s) , Y (s) = å X i (s) .

s - li

i =1

Перейдем

в

операторных

соотношениях

к

оригиналам, полагая

L-1{X i (s)} = xi (t) . Получим x&i

= li xi

+ bi v,

y = x1 + ... + xn , i =1,..., n .

Вводя вектор состояния x = col[x1,...xn ] , запишем полученные уравнения в виде уравнений состояния

él1		0 ù
x& = ê	O	ú x
ê	0	ú
ë		ln û

éb1 ù

+ ê M ú v, y = [1,...,1]x . (8.23)

êb ú ë n û

Итак, получили уравнения состояния в канонической форме с диагональной матрицей коэффициентов, где в общем случае элементы li , bi матриц мо-

гут быть и комплексными величинами.

95

Из (8.22) можно получить другую каноническую форму уравнений состо-

яния. Если обозначить V (s) = X i (s) , то проводя аналогичные рассуждения, s - li

получим следующие уравнения состояния:

él1		0 ù
x& = ê	O	ú x
ê	0	ú
ë		ln û

é1ù

+ êMúv , y = [b1 ,..., bn ]x . (8.24)

êë1úû

Рассмотрим теперь случай кратных корней. Пусть характеристическое уравнение имеет корни l1 кратности k, а остальные корни простые lk +1 ,..., ln .

Тогда передаточную функцию можно представить в виде разложения

W (

где

В этом случае

Y (s) = b1 X1 (s)

s) =	b1	+ ... +	bk	+ ... +	bk +1	+ ... +	bn	,
	(s - l1 )k		s - l1		s - lk +1
							s - ln

b

i

=

1

d i -1

[(s - l )k W

(s)]

, i = i,..., k ,

(i

-

1)! dsi -1

1

s = l1

bi = (s - l1 )W (s)

s = li

, i = k +1,..., n .

é

b1

bk

bk +1

bn

ù

Y (s) = ê

+ ... +

+ ... +

+ ... +

úV (s) , или

(s

)k

ê

- l

s - l1

s - lk +1

s - ln ú

ë

1

û

+ ... + bk X k (s) + bk +1 X k +1 (s) + ... + bn X n (s) .

Между изображениями X1(s),..., X k (s)				существует связь X i (s) =			Xi +1(s)	,
	x (t) = L-1{X		(s)} и				s - l1
i = 1,...,k - 1. Полагая		i		переходя	к оригиналам,	получим в
	i
области оригиналов:	x&i = l1xi + xi +1, i = 1,..., k - 1; x&k				= l1xk + v ; x&i	= li xi + v,

n

i = k + 1,..., n ; y = å bi xi .

i =1

Вводя вектор состояния x = col[x1 ,...xn ] , полученные соотношения запишем в векторно-матричной форме:

x&		v	y = [b1,...,b n	]x
				(8.25)

96