9.5. Модальный метод синтеза (метод размещения полюсов)

Рассмотрим САУ с одним входом и одним выходом, будем считать v = 0. Пусть модель объекта имеет вид

X& = AX + Bu,

(9.19)

y = CX .

При этом методе синтеза закон управления выражается формулой

u = -KX ,

(9.20)

где K -вектор коэффициентов [k1 k2 K kn ]. Структура замкнутой САУ приведена на рис. 9.10.

v = 0 +	u	y
	å	Oбъект

xn ggg x2 x1

kn

k2

k1

Рис. 9.10

Так как v = 0, то назначение САУ поддерживать значениеy = 0. САУ называют регулятором состояния.

Рассмотрим пример спутника (рис. 9.11) с передаточной функцией

Такую

1

s2

[6].

				C путник
v = 0 +	å	u	1	x2	1	x1	y
			s		s

k2

k1

Рис. 9.11

125

Модель объекта (спутника) будет иметь вид

ìx&1 = x2

или

&

é0

1ù

é0ù

í

= u

X = ê

ú X + ê

úu.

îx&2

ë0

0û

ë1û

Для замкнутой САУ, где u = -KX , имеем

ìx&1 = x2

или

&

é 0

1

ù

X = A3 X ,

(9.21)

íx&

= -k x - k x

X

= ê

-k

-k

2

ú

î 2

1 1

2 2

ë

1

û

где A3 - матрица коэффициентов замкнутой САУ. Характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид

	lE - A		=	l	-1	= l2 + k	l + k = 0.	(9.22)
	3			k1	l + k2	2	1
Пусть корни его будут -l1 и -l2 , тогда характеристическое уравнение
желаемой замкнутой системы имеет вид

D

Ж

(l) = l2 + (l + l

2

)l + l l

2

= 0.

(9.23)

1

1

Синтез системы заключается в выборе k1 и k2

в (9.22), которые бы соот-

ветствовали коэффициентам уравнения (9.23), т. е. :

k1 = l1l2 ,

(9.24)

k2 = l1 + l2 .

Рассмотрим общий принцип синтеза САУ.

Пусть

X = AX + Bu,

(9.25)

&

u = -KX , K = [k1 k2 Kkn ] .

(9.26)

Подставляя (9.26) в (9.25), получим

X = AX - BKX = (A - BK )X = A3 X .

(9.27)

&

Характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид

lE - A3

=

lE - A + BK

= 0.

(9.28)

Если корни -l1, - l2 ,

K, - ln , то желаемое характеристическое уравне-

ние замкнутой САУ будет иметь вид

DЖ (l) = (l + l1)(l + l2 )K(l + ln ) = ln + a1ln-1 +K+ an = 0.

(9.29)

126

Приравнивая (9.28) и (9.29), имеем
lE - A + BK = ln + a1ln-1 +K+ an .	(9.30)

В этом уравнении n неизвестных (k1, k2 ,K, kn ), но они могут быть найдены путем приравнивания коэффициентов при l в одинаковых степенях.

Пусть передаточная функция объекта будет иметь вид

W

(s) =

b0 sn-1 + b1sn-2 +K+ bn-1

, a =1.

(9.31)

0

sn + a sn-1 +K+ a

0

1

n

Уравнения состояния при y = x1 , x2 = y&, x3 = &&y,K имеют вид

é

0

1

0

L

0

ù

é0ù

ê

0

0

1

L

0

ú

ê

ú

&

ê

ú

ê0ú

v, y = [bn-1

b0 ]X .

(9.32)

ê

M

M

M

M

M

ú

X +

ê

ú

bn-2 K

X =

ê

ú

M

ú

0

0

0

L

1

ê

ê

ú

ê0ú

ê

-an-1

-an-2

ú

ê

ú

ë-an

L -a1 û

ë1

û

Матрица A является фробениусовой, а уравнение объекта соответствует нормальной форме.

При

законе

модального

уравненияu = -KX

для

замкнутой САУ в

é0ù

é 0

0

L 0 ù

ê0ú

матрице

A - BK

член

BK

[k1 k2

K kn ]=

ê

M

ú

Матрица

= ê

ú

ê M

M ú.

êMú

êk

k

2

k ú

ê

ú

ë 1

n û

ë1

û

é

0

1

0

L

0

ù

ê

0

0

1

L

0

ú

A = A - BK = ê

ú.

3

ê

0

0

0

1

ú

ê

ú

ë-an - k1 L L L

-a1 - kn û

Характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид

[lE - A + BK ] = ln + (a1 + kn )ln-1 +K+ (an-1 + k2 )l + (an + k1) = 0.

Желаемое характеристическое уравнение замкнутой САУ будет

DЖ (l) = ln + a1ln-1 +K+ an = 0.

127

Из двух последних уравнений следует:

a	= a	+ k , откуда k = a			- a ;ü
n	n	1	1	n	n	ï	(9.33)
LLLLL LLL LLLLL						ý.
a = a + k			, откуда k	= a - a .		ï
1	1	n	n	1	1	þ

Последняя система представляет собой общее решение задачи синтеза путём размещения полюсов для САУ с одним входом и одним выходом, но для этого исходная модель САУ должна быть в нормальной форме(матрица A -фробениусова).

Аккерман [6] предложил формулу, которая позволяет перейти от произвольной формы уравнений состояния к нормальной, затем найти ki , а потом перейти к исходной структуре.

Формула Аккермана имеет вид

[

é

n-2

n-1

ù

-1

Ж

K =

0

0

]ë

B

AB K A B

A

B

û

D

(A), (9.34)

K 0 1

где DЖ (A) - матричный полином, образованный путём использования коэффициентов желаемого характеристического уравнения

DЖ (A) = An + a1 An-1 +K+ an-1 A + an E.								(9.35)
Последние выражения (при n > 3 ) рассчитываются на компьютере.
&	é0	1	ù	X	+	é0	ù	характеристическое
Пример 9.3. Для спутника X	= ê	0	ú			ê	ú u;
	ë0		û			ë1	û

уравнение

D

Ж

(l) = l2 + (l + l

2

)l + l l

= 0.

1

1 2

Используем формулу Аккермана. Определим AB =

é0

1ù é0ù

=

é1 ù

,

затем

ê

ú ê

ú

ê ú

ë0

0û ë1

û

ë0û

[B

AB]

-1

éé0ù é1 ùù-1

é0 1ù

= êê

ú ê

úú

= ê

ú . Образуем матричный полином

ëë1

û ë0ûû

ë1 0û

D

Ж

(A) = A2 + (l + l

2

)A + l l

E = é0 1ù é0 1ù

+ (l + l

2

)

é0 1ù + l l

é1 0ù

=

1

1 2

ê

ú ê

ú

1

ê

ú

1 2 ê

ú

ë0 0û ë

0 0û

ë0 0û

ë0 1û

é0 0ù é0 l1 + l2 ù

él1l2

0

ù él1l2

l1 + l2 ù

=

ê0 0ú

+ ê0

0

ú

+

ê

0

l l

ú = ê

0

l l

ú.

ë

û ë

û

ë

1 2

û ë

1 2

û

128

По формуле Аккермана K =

0

1 B

AB

-1 D (A) =

0

1

é0

1ùél1l2

l1 +l2 ù

=

[

][

]

Ж

[

]ê

úê

0

ú

ë1

0ûë

l1l2 û

=

[

0

1

é

0

l1l2

ù

=

[

l l

l + l

2 ]

. Как видим, результаты совпали с (9.24).

]êl l l + l

ú

1 2

1

ë

1 2

1

2 û

Остановимся на вопросе формирования полюсов передаточной функции замкнутой САУ, исходя из заданных показателей качества на основе корневых оценок.

Определим границу расположения желаемых полюсов(корней) САУ. Ис-

ходя

из заданного времени

переходного процессаtp , в

силу (7.4) находим

h ³

3

, если ближайший к мнимой оси корень вещественный и у = 0.

tp

Угол сектора

комплексных

корней

связан

с перерегулированием в

силу

p

b

(7.6)

соотношением s =100e-m ,

где m =

= tga,

если ближайшая к мнимой

h

оси – пара комплексных сопряжённых корней и s > 0.

-

р

tgб

следует

Из соотношения у = 100e

b

p

tga =

=

.

(9.36)

h

ln

100

s

Пример 9.4. Рассмотрим оба случая для САУ из предыдущего примера.

1. Если s = 0 (ближайший корень – вещественный) и t р =1c , то h ³ 3 .

Возьмём оба

корня

вещественных:

-l =-l =-4. Тогда D (l) = (l + 4)2

=

1

2

Ж

= l2 + 8l +16 = 0; k

= l l

2

=16;

k

2

= l

1

+ l

2

= 8.

1

1

b

p

2. Пусть s » 37 %, а tp =1 с, т. е.

h = 4. Тогда tga =

=

» p = 3,14 .

h

ln

100

37

При h = 4 значение b = 3,14 × 4 »12,5 ;

- l1 = -4 + j12,5 , -l2 = -4 - j12,5.

k1 = l1l2 = (4 + j12,5)(4 - j12,5) =16 +156 =172. k2 = l1 +l2 = 4 + j12,5 + 4 - j12,5 = 8.

Примечание. При определении полюсов не следует чрезмерно увеличивать Re li , так как при этом увеличиваются значения ki , а для повышения реакции

инерционных объектов надо на их вход подавать большие сигналы, что может привести к насыщению элементов и сделать САУ нелинейной.

129