ìïx = (t2 - 2)sint

18.31.íïy = (2 - t2 )cost

î

+2t cost,

+2t sin t,

0 £ t £ π.

Задача 19. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярны

координатах.

19.1. ρ = 3e3ϕ 4 ,

-π 2 £ ϕ £ π 2.

19.2. ρ = 4e4ϕ 3 ,

-π 2 £ ϕ £ π 2.

19.3. ρ =

eϕ ,

-π 2 £ ϕ £ π 2.

19.4. ρ = 5e5ϕ 12 ,

-π 2 £ ϕ £ π 2.

2

19.5. ρ = 6e12ϕ 5 ,

-π 2 £ ϕ £ π 2.

19.6. ρ = 3e3ϕ 4 ,

0 £ ϕ £ π 3.

19.7. ρ = 4e4ϕ 3,

0 £ ϕ £ π 3.

19.8. ρ =

eϕ ,

0 £ ϕ £ π 3.

2

19.9. ρ = 5e5ϕ 12 ,

0 £ ϕ £ π 3.

19.10. ρ =12e12ϕ 5 ,

0 £ ϕ £ π 3.

19.11. ρ =1− sinϕ, −π 2 ≤ ϕ ≤ −π 6.

19.12. ρ = 2

(1- cosϕ ),

-π £ ϕ £ -π 2.

19.13. ρ = 3(1+ sinϕ ),

-π 6 £ ϕ £ 0.

19.14. ρ = 4

(1- sinϕ ),

0 £ ϕ £ π 6.

19.15. ρ = 5

(1- cosϕ ),

-π 3 £ ϕ £ 0.

19.16. ρ = 6

(1+ sinϕ ),

-π 2 £ ϕ £ 0.

19.17. ρ = 7

(1- sinϕ ),

-π 6 £ ϕ £ π 6.

19.18. ρ = 8

(1- cosϕ ),

- 2π 3 £ ϕ £ 0.

19.19. ρ = 2ϕ,

0

≤ ϕ ≤ 3 4.

19.20. ρ = 2ϕ,

0 ≤ ϕ ≤ 4 3.

19.21. ρ = 2ϕ,

0

≤ ϕ ≤ 5 12.

19.22. ρ = 2ϕ,

0 ≤ ϕ ≤12 5.

19.23. ρ = 4ϕ,

0

≤ ϕ ≤ 3 4.

19.24. ρ = 3ϕ,

0 ≤ ϕ ≤ 4 3.

19.25. ρ = 5ϕ,

0 ≤ ϕ ≤12 5.

19.26. ρ = 2cosϕ,

0 ≤ ϕ ≤ π 6.

19.27. ρ = 8cosϕ,

0 ≤ ϕ ≤ π 4.

19.28. ρ = 6cosϕ,

0 ≤ ϕ ≤ π 3.

19.29. ρ = 2sinϕ,

0 ≤ ϕ ≤ π 6.

19.30. ρ = 8sinϕ,

0 ≤ ϕ ≤ π 4.

19.31. ρ = 6sinϕ,

0 ≤ ϕ ≤ π 3.

Задача 20. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

20.1.

x2

+ y2 =1,

z = y,

z = 0 ( y ³ 0).

20.2. z = x2 + 4y2 ,

z = 2.

9

101

20.3.

x2

+

y2

- z2 =1, z = 0,

z = 3.

20.4.

x2

+

y2

-

z2

= -1,

z =12.

9

4

9

4

36

20.5.

x2

+

y2

+

z2

=1,

z =1,

z = 0.

20.6. x2 + y2

= 9,

z = y,

z = 0

( y ³ 0).

16

9

4

20.7.

z = x2 + 9y2 ,

z = 3.

20.8.

x2

+ y2 - z2 =1, z = 0, z = 3.

4

20.9.

x2

+

y2

-

z2

= -1,

z =16.

20.10.

x2

+

y2

+

z2

=1,

z = 2,

z = 0.

9

16

64

16

9

16

x2

+

y2

=1,

z = y

z = 0

( y ³ 0).

20.12. z = 2x2 + 8y2 ,

z = 4.

20.11.

3,

3

4

20.13.

x2

+

y2

- z2

=1,

z = 0,

z = 2.

20.14.

x2

+

y2

-

z

2

= -1,

z =12.

81

25

4

9

36

20.15.

x2

+

y2

+

z2

=1,

z = 3, z = 0.

16

9

36

x2

+

y2

=1,

z = y

z = 0

( y ³ 0).

20.16.

3,

3

16

20.17. z = x2 +

5y2 , z = 5.

20.18.

x2

+

y2

- z2

=1,

z = 0,

z = 4.

9

4

20.19.

x2

+

y2

-

z

2

= -1,

z = 20.

20.20.

x2

+

y2

+

z

2

=1,

z = 4,

z = 0.

9

25

100

16

9

64

20.21.

x2

+

y2

=1,

z =

y

, z = 0

( y ³ 0).

20.22. z = 4x2 + 9y2 ,

z = 6.

27

3

25

20.23. x2 +

y2

- z2

=1,

z = 0,

z = 3.

20.24.

x2

+

y2

-

z2

= -1,

z = 20.

4

25

9

100

20.25.

x2

+

y2

+

z

2

=1,

z = 5, z = 0.

16

9

100

20.26.

x2

+ y2

=1,

z =

y

, z = 0 ( y ³ 0).

27

3

20.27. z = 2x2 +18y2 , z = 6.

20.28.

x2

+

y2

- z2

=1,

z = 0,

z = 2.

25

9

102

20.29.

x2

+

y2

−

z2

= −1,

z =16.

20.30.

x2

+

y2

+

z2

=1, z = 6, z = 0.

16

16

144

9

64

9

20.31.

x2

+

y2

+

z2

=1,

z = 7, z = 0.

16

196

9

Задача 21. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. В вариантах 1–16 ось вращения Ox , в вариантах 17–31 ось вращения

Oy .

21.1.	y = −x2 + 5x − 6,		y = 0.		21.2. 2x − x2 − y = 0, 2x2 − 4x + y = 0.
21.3.	y = 3sin x,	y = sin x,		0 ≤ x ≤ π.	21.4. y = 5cos x,			y = cos x, x = 0, x ³ 0.
	y = sin2 x,	x = π 2,		y = 0.	21.6. x = 3			x =1,	y =1.
21.5.						y − 2,
21.7.	y = xex ,	y = 0,	x =1.		21.8. y = 2x − x2 ,			y = −x + 2,		x = 0.
21.9.	y = 2x − x2 , y = −x + 2.				21.10. y = e1−x , y = 0,				x = 0,	x =1.

21.11. y = x2 ,

y2 − x = 0.

21.12. x2 + ( y − 2)2

=1.

21.13. y =1− x2 , x = 0,

x =

x =1.

21.14. y = x2 ,

y =1,

x = 2.

y −1,

21.15. y = x2 ,

y =

.

21.16. y = sin(π x 2),

y = x2.

x

21.17. y = arccos(x 3),

y = arccos x,

y = 0.

21.18. y = arcsin (x 5),

y = arcsin x,

y = π 2.

21.19. y = x2 ,

x = 2,

y = 0.

21.20. y = x2 +1,

y = x,

x = 0,

y = 0.

21.21. y =

y = 0,

y =1,

x = 0,5.

21.22. y = ln x,

x = 2,

y = 0.

x −1,

21.23. y = (x −1)2 ,

y =1.

21.24. y2 = x − 2,

y = 0,

y = x3,

y =1.

21.25. y = x3 ,

y = x2.

21.26. y = arccos(x 5),

y = arccos(x 3),

y = 0.

21.27. y = arcsin x,

y = arccos x,

y = 0.

21.28. y = x2 − 2x +1,

x = 2,

y = 0.

21.29. y = x3 ,

y = x.

21.30. y = arccos x,

y = arcsin x,

x = 0.

21.31. y = (x −1)2 ,

x = 0,

x = 2, y = 0.

103

		Задача 22
		Варианты 1–10
Вычислить силу, с которой вода давит на плотину,
сечение которой имеет форму равнобочной трапеции (рис. 2).
Плотность воды	ρ =1000	кг/м3, ускорение свободного
падения g положить равным 10 м/с2.
У к а з а н и е. Давление на глубине x равно ρgx.
22.1. a = 4,5 м,	b = 6,6 м,	h = 3,0 м.	22.2. a = 4,8 м,	b = 7,2 м,	h = 3,0 м.
22.3. a = 5,1 м,	b = 7,8 м,	h = 3,0 м.	22.4. a = 5,4 м,	b = 8,4 м,	h = 3,0 м.
22.5. a = 5,7 м,	b = 9,0 м,	h = 4,0 м.	22.6. a = 6,0 м,	b = 9,6 м,	h = 4,0 м.
22.7. a = 6,3 м,	b =10,2 м,	h = 4,0 м.	22.8. a = 6,6 м,	b =10,8 м,	h = 4,0 м.
22.9. a = 6,9 м,	b = 11,4 м,	h = 5,0 м.	22.10. a = 7,2 м,	b = 12,0 м, h = 5,0 м.

Варианты 11–20

Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности

Земли на высоту	H км. Масса спутника	равна m т, радиус Земли Rз = 6380 км
Ускорение свободного падения g у поверхности Земли положить равным 10 м/с2.
22.11. m = 7,0 т,	H = 200 км.	22.12. m = 7,0 т,	H = 250 км.
22.13. m = 6,0 т,	H = 300 км.	22.14. m = 6,0 т,	H = 350 км.
22.15. m = 5,0 т,	H = 400 км.	22.16. m = 5,0 т,	H = 450 км.
22.17. m = 4,0 т,	H = 500 км.	22.18. m = 4,0 т,	H = 550 км.
22.19. m = 3,0 т,	H = 600 км.	22.20. m = 3,0 т,	H = 650 км.

Варианты 21–31

Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем,

переместившимся внутрь цилиндра на h м (рис. 3).

104

У к а з а н и е. Уравнение состояния газа pV = const , где p – давление, V – объем.

22.21. H = 0,4 м,	h = 0,35 м, R = 0,1 м.		22.22. H = 0,4 м,	h = 0,3 м,	R = 0,1 м.
22.23. H = 0,4 м,	h = 0,2 м,	R = 0,1 м.	22.24. H = 0,8 м,	h = 0,7 м,	R = 0,2 м.
22.25. H = 0,8 м,	h = 0,6 м,	R = 0,2 м.	22.26. H = 0,8 м,	h = 0,4 м,	R = 0,2 м.
22.27. H = 1,6 м,	h = 1,4 м,	R = 0,3 м.	22.28. H = 1,6 м,	h = 1,2 м,	R = 0,3 м.
22.29. H = 1,6 м,	h = 0,8 м,	R = 0,3 м.	22.30. H = 2,0 м,	h = 1,5 м,	R = 0,4 м.
22.31. H = 2,0 м,	h = 1,0 м,	R = 0,4 м.

105