VII. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Теоретические вопросы

1.Определение двойного и тройного интегралов. Их геометрический и физический

смысл.

2.Основные свойства двойных и тройных интегралов.

3.Теорема о среднем для двойного и тройного интегралов.

4.Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями

(случай прямоугольной области).

5. Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями

(общий случай).

6.Замена переменных в двойном интеграле.

7.Якобиан, его геометрический смысл.

8.Двойной интеграл в полярных координатах.

9.Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

10.Тройной интеграл в сферических координатах.

Теоретические упражнения

1. Пользуясь определением двойного интеграла, доказать, что

òòxm yndxdy = 0 ,

x2 + y2≤R2

если m и n - натуральные числа, и, по меньшей мере, одно из них нечетно. 2. С помощью теоремы о среднем найти

lim	1			òò		f (x, y)dxdy ,
	π R	2
R→0		2		2	≤R	2
			x	+ y

156

где f (x, y) - непрерывная функция.

3. Оценить интеграл

òòò					dxdydz							, x02	+ y02	+ z02	> R2 ,
		(x − x	)	2	+ ( y − y	)	2	+ (z − z	)	2
x2 + y2 +z2≤R2
		0			0			0

т.е. указать, между какими значениями заключена его величина.

4.Вычислить двойной интеграл

òòf (x, y)dxdy ,

D

если область D - прямоугольник { a ≤ x ≤ b,

c ≤ y ≤ d }, а

f (x, y)

= F′′

(x, y).

xy

5.

Доказать равенство

b

d

òò f (x)g ( y)dxdy = ò f (x)dxòg

( y)dy б

D

a

c

если область D - прямоугольник { a ≤ x ≤ b,

c ≤ y ≤ d }.

6.

Доказать формулу Дирихле

òa dxòx

f (x, y)dy = òa dyòa

f (x, y)dx ,

a > 0 .

0

0

0

y

7.

Пользуясь формулой Дирихле, доказать равенство

a

y

a

òdyò f (x)dx = ò(a − x) f (x)dx .

0

0

0

8.

Какой из интегралов больше

1

1

1

1

1−x

1−x−y

òdxòdyò f

(x, y, z)dz

или

òdx ò dy ò f (x, y, z)dz ,

0

0

0

0

0

0

если f (x, y, z)

> 0?

157

Расчетные задания

Задача 1. Изменить порядок интегрирования.

−1

0

0

0

1.1. ò dy

ò

f

dx + ò dy

ò

f

dx .

−2

− 2+y

−1

−

− y

1

y

2−y2

2

1.3. òdyò f

dx + ò dy

ò

f

dx .

0

0

1

0

−1

0

0

0

1.5.

ò

dx

ò

f dy + ò dxò f dy .

−

2

−

2−x2

−1

x

−1

2+ y

0

− y

1.7. ò dy

ò

f

dx + òdy ò

f

dx.

−2

0

−1

0

x2

−1

2−x2

0

1.9.

ò

dx

ò

f

dy + ò dx ò f

dy .

−

2

0

−1

0

1.11. ò1 dx ò1

f

dy + òe dx

ò1

f

dy.

0

1−x2

1

ln x

π 4

sin y

π 2

cos y

1.13.

ò dy ò

f

dx + ò dy ò

f

dx..

0

0

π 4

0

1

y

e

1

1.15. òdy ò

f

dx + òdy ò

f

dx .

0

0

1

ln y

1.17. ò1 dy ò0

f

dx + ò2

dy

ò0

f

dx .

0

− y

1

−

2−y2

dx

ò0

f dy + ò2

ò0

1.19. ò3

dx

f dy .

0

4−x2

−2

3

−

4−x2

1

0

2

0

1.2. òdy ò

f

dx + ò dy

ò

f

dx .

0

−

y

1

−

− y

1

y

2

2−y

1.4. òdy ò

f

dx + òdy

ò

f

dx .

0

0

1

0

1

arcsin y

1

arccos y

2

1.6.

ò

dy

ò

f dx + ò

dy

ò

f dx .

0

0

1

2

0

1

0

e

−ln y

1.8. òdy ò

f

dx + òdy ò

f

dx .

0

−

y

1

−1

1.10. −ò

dx

ò0

fdy + ò0

ò0

3

dx

fdy .

−2

−

−

4−x2

3

4−x2

−2

3

2−y

1

y

2

1.12. òdy ò

f

dx + òdy ò

f

dx .

0

0

1

0

−1

0

0

0

1.14. ò dx

ò

f

dy +

ò dx ò

f

dy .

−2

−(

2+x)

−1

3

x

1.16. ò1 dy ò0

f dx + ò2 dy

ò0

f

dx.

0

−

y

1

−

2−y

1

y2

2

2−y

1.18. òdy ò f

dx + òdy ò

f

dx .

0

0

1

0

1.20. −ò1 dy

ò0

f

dx +

ò0

dy ò0

f

dx .

−2

−(

2+ y)

−1

3

y

158

1

y

e

1

1.21. òdyò

f dx + òdy ò

f

dx.

0

0

1

ln y

π 4

sin x

π 2

cos x

1.23.

ò

dx

ò

f dy + ò dx

ò

f

dy .

0

0

π 4

0

1

x2

2

2−x

1.25. òdx ò

f

dy + òdx ò

f

dy .

0

0

1

0

1

0

2

0

1.27. òdx ò

f

dy + òdx

ò

f

dy .

0

−

x

1

−

2−x

2−y2

1

y

2

1.29. òdy ò

f

dx + ò dy

ò

f

dx .

0

0

1

0

2−

−

4−x2

0

4−x2

3

1.31.

ò

dx

ò

f dy + ò

dx

ò

f dy .

−2

0

−

3

0

Задача 2. Вычислить.

òò(12x2 y2 +16x3 y3 )dxdy;

2.1.D

D : x =1, y = x2 , y = −x.

òò(36x2 y2 − 96x3 y3 )dxdy;

2.3.D

D : x =1, y = 3x, y = −x3.

òò(27x2 y2 + 48x3 y3 )dxdy;

2.5.D

D : x =1, y = x2 , y = −3x.

1

x2

2

2−x2

1.22. òdx ò f

dy + ò dx

ò

f

dy .

0

0

1

0

−1

0

0

0

1.24.

ò

dy

ò

f dx + ò dy ò f

dx .

−

2

−

2−y2

−1

y

2−

4−x2

2

4−x2

3

1.26. ò dx

ò

f

dy + ò dx

ò

f

dy .

0

0

3

0

1

x

2−x2

2

1.28. òdxò f

dy + ò dx

ò

f

dy .

0

0

1

0

1.30. ò1 dx òx

f

dy + ò2 dx

2ò−x

f

dy .

0

0

1

0

òò(9x2 y2 + 48x3 y3 )dxdy;

2.2.D

D : x =1, y = x, y = −x2.

òò(18x2 y2 + 32x3 y3 )dxdy;

2.4.D

D : x =1, y = x3, y = −3x.

òò(18x2 y2 + 32x3 y3 )dxdy;

2.6.D

D : x =1, y = 3x, y = −x2.

159

òò(18x2 y2 + 32x3 y3 )dxdy;

2.7.D

D : x =1, y = x3, y = -x.

òò(4xy + 3x2 y2 )dxdy;

2.9.D

D : x =1, y = x2 , y = -x.

òò(8xy + 9x2 y2 )dxdy;

2.11.D

D : x =1, y = 3x, y = -x3.

òò(12xy + 27x2 y2 )dxdy;

2.13.D

D : x =1, y = x2 , y = -3x.

æ	4		9				2		2	ö
ç		xy +				x		y		÷dxdy;
2.15. òòD è	5		11							ø

D : x =1, y = x3 , y = -x.

òò(24xy - 48x3 y3 )dxdy;

2.17.D

D : x =1, y = x2 , y = -x.

òò(4xy +16x3 y3 )dxdy;

2.19.D

D : x =1, y = 3x, y = -x3.

òò(44xy +16x3 y3 )dxdy;

2.21.D

D : x =1, y = x2 , y = -3x.

òò(xy - 4x3 y3 )dxdy;

2.23.D

D : x =1, y = x3, y = -x.

òò(27x2 y2 + 48x3 y3 )dxdy;

2.8.D

D : x =1, y = x, y = -x3.

òò(12xy + 9x2 y2 )dxdy;

2.10.D

D : x =1, y = x, y = -x2.

òò(24xy +18x2 y2 )dxdy;

2.12.D

D : x =1, y = x3, y = -3x.

òò(8xy +18x2 y2 )dxdy;

2.14.D

	D : x =1,				y = 3		x	, y = -x2.
	òòD	æ 4			2	2 ö
2.16.				xy + 9x y		ø
		è 5
		ç					÷dxdy;
	D : x =1,				y =			, y = -x3.
							x

òò(6xy + 24x3 y3 )dxdy;

2.18.D

D : x =1, y = x, y = -x2.

òò(4xy +16x3 y3 )dxdy;

2.20.D

D : x =1, y = x3, y = -3x.

òò(4xy +176x3 y3 )dxdy;

2.22.D

D : x =1, y = 3x, y = -x3.

òò(4xy +176x3 y3 )dxdy;

2.24.D

D : x =1, y = x, y = -x3.

160