Варіанти алгебраїчних та трансцендентних рівнянь

Таблиця 8.1 – алгебраїчні рівняння для рішення аналітичними методами

№ п/п	Рівняння	№ п/п	Рівняння
1	x^3-a=0	10	e^-2x-2a=0
2	x^5+(b-a)x^4-abx^3+ax^2+ax(b-a)-a^2b=0	11	sin ax+cos ax=0
3	x^5+bx^4-a^4x-a^4b=0	12	sin ax+tg ax=0
4	x^4+2x^3(1+a)+x^2(4a-1)-2x(1+a)-4a=0	13	e^-ax+e^ax=0
5	x^5-3x^4+(a-b^3)x^3+3(b^3-a)x^2-ab^3x+3ab^3=0	14	e^-ax+e^ax-1=0
6	x^5-ax^3+2x^2-2a=0	15	e^-ax+e^ax-ln a=0
7	x^7+ax^5-x^2-a=0	16	ae^-x+be^x=0
8	2^x-2(a+b)=0	17	a sin x+b cos x=0
9	ln sin x-2a=0

Таблиця 8.2 – алгебраїчні і трансцендентні рівняння для рішення чисельними методами

№ п/п	Рівняння
	алгебраїчні	трансцендентні
1	x^4-4x^3-10x^2+3x-4=0	2sin ln|x|=0
2	x^5-5x^2+4.5=0	arctg tg x=0
3	x^5-x+0.2=0	4e^-1/|x|-2
4	x^3-0.2x^2+0.5x+1.5=0	sin sin x
5	x^10-1=0	2^x-4x=0
6	x^8+2x-1.5=0	x!+2x-2=0
7	x^4-2x^2+8x+1=0	ln x+(x+1)^3=0
8	x^3+4x^2-5x-2=0	arctg (x-2)+x=0
9	6x^8-2x^2+3=0	x^2+4sin x-2=0
10	3.5x^5-2.8x^3+7.5x-2.5=0	x-ln (7-4x)
11	х^5+х^4+х^3+х^2+х+1=0	e^-2x+3/x-1=0
12	1.5х^5+17х-21=0	e^-6x+3x^2-18=0
13	2x^4-3.5x^2+3=0	ln (4-2x)+x^2-2=0
14	17x^9-15x^7+13x^4+11x^3+9x=0	3^x-9x+1=0
15	x^4+2x^3-1=0	2^x+ln 2x-5.6=0
16	x^10-1=0	x+lg x-0.5=0
17	x^7+6x^6+x^5-4x^4+x^3-2x^2+x-1=0	2x!-e^-x+5=0

Практична робота №9 Рішення систем рівнянь в середовищі matlab

Мета: Вивчення методів рішення систем рівнянь

Теоретичні питання

Розглянемо наступні способи рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь засобами MATLAB:

• спосіб обчислення визначників матриці коефіцієнтів системи рівнянь;

• матричний спосіб;

• за допомогою функції solve ();

• за допомогою вбудованої функції nnls ().

Рішення системи лінійних рівнянь за допомогою визначників.

Нехай D – головний визначник матриці коефіцієнтів системи рівнянь, d_k – частинний визначник, сформований заміною коефіцієнтів при до k-му невідомому системи рівнянь на коефіцієнти правих частин рівнянь (вільних членів). Тоді невідоме х_к обчислюється по виразу:

Необхідно вирішити наступну систему лінійних рівнянь:

Методом визначників рішення системи матиме вигляд:

Тепер представимо визначники у вигляді матриць:

Тоді програма обчислення невідомих матиме вигляд:

Недолік методу визначників полягає в тому, що він вимагає утворення числа матриць на одне більше, ніж число невідомих.

Матричний метод рішення систем лінійних рівнянь.

Нехай А - матриця коефіцієнтів системи рівнянь, В – вектор вільних членів, X – вектор невідомих. Тоді невідомі визначаються:

Для попередньої системи рівнянь:

MATLAB дозволяє вирішувати системи лінійних рівнянь в аналітичному вигляді, коли коефіцієнти рівнянь є символьними змінними. Для цього необхідно визначити символьні змінні за допомогою вбудованої функції syms x, де х— перелік символьних змінних, які відділяються пробілами.

Необхідно розв’язати наступну систему рівнянь:

Рішення:

Програма дозволяє вирішувати рівняння у разі, коли коефіцієнти є числами комплексними.

Рішення систем лінійних рівнянь за допомогою функції solve().

Функція solve () у разі рішення систем рівнянь має вигляд:

де: ' f_i' – i-те рівняння системи, і=1,2..., n;

х_і — і-тe невідоме і = 1,2 ..., n.

Кожне рівняння системи береться в одинарні лапки і відділяється від попереднього комою. Перед функцією solve () необхідно за допомогою функції syms описати символьні змінні.

Рішення системи рівнянь:

Програма рішення системи рівнянь має вигляд:

Після натиснення клавіші <Enter> отримаємо відповідь в наступному вигляді:

Програма задачу вирішила, але не видала значення невідомих х, у, z. Для їх отримання необхідно скористатися командою Y.k, де k – ім'я невідомої. В нашому випадку рішення буде мати вигляд:

Можна також використовувати функцію vpa (Y.k, n)

де k – шукане невідоме;

n – число знаків відповіді.

Отримаємо вирішення з числом знаків n=5:

Рішення систем нелінійних рівнянь.

Рішення систем нелінійних рівнянь в MATLAB здійснюється функцією fsolve (), яка має вигляд:

де file – система рівнянь, збережена в m-файлі.

Нехай необхідно вирішити наступну систему нелінійних рівнянь:

Представимо систему рівнянь у вигляді функції користувача з ім'ям myfun і збережемо її у файлі myfun.m.

Вміст файлу має вигляд:

Програма і результати рішення мають вигляд:

MATLAB має велике число функцій вирішення спеціальних рівнянь. У них реалізовані ітераційні методи рішення рівнянь і метод найменших квадратів. Деякі з цих функцій дозволяють вирішувати також звичайні системи лінійних рівнянь.

Такими функціями є: bicq(), cqs(), qmres(), qmr().

Функція bicq() має вигляд:

де А – матриця коефіцієнтів системи рівнянь;

B – вектор вільних членів.

Функція обчислює невідомі методом ітерацій.

За початкові наближення за умовчанням приймає нульовий вектор довжиною n, де n – число невідомих.

Кількість ітерацій визначається або по максимальному їх числу (20 по замовчанню), або по досягненню відносної похибки (за замовчанням 10^-6).

Функція має декілька модифікацій.

• bicq(A, B, tol) — видає рішення з погрішністю tol;

• bicq(A, B, tol, maxit) — видає рішення з погрішністю tol при заданому числі ітерацій.

Функція cqs().

Функція cqs () представляється в наступному вигляді:

cqs (А, В)

cqs (A, B, tol)

cqs(A, B, tol, maxit)

Цією функцією реалізується так званий квадратичний метод спряжених аргументів. Ітераційний процес починається з нульової ітерації (нульовий вектор початкових значень).

Число ітерацій визначається по одній з наступних ознак:

• число ітерацій задається користувачем;

• збіжність ітераційного процесу;

• погрішність результату.

Функції qmres() і qmr() вирішують систему лінійних рівнянь методом ітерацій, використовуючи відповідно метод мінімізації узагальненої нев'язності і метод квазімінімізації нев'язності. Вони мають ті ж модифікації, що і функція bicq(). Технологія рішення рівнянь не відрізняється від розглянутих вище.