Варіанти систем алгебраїчних рівнянь

Таблиця 9.1 – системи лінійних алгебраїчних рівняннь

№ п/п	Рівняння	№ п/п	Рівняння

Таблиця 9.2 – системи нелінійних алгебраїчних рівнянь

№ п/п	Рівняння	№ п/п	Рівняння

Практична робота №10 Загальні відомості про програмний комплекс simulink. Побудова простих моделей

Мета: Ознайомлення з додатком до пакету MATLAB – SIMULINK

Теоретичні питання

Програма SIMULINK є додатком до пакету MATLAB. У певному значенні SIMULINK можна розглядати як самостійний продукт фірми MathWorks, проте він працює тільки за наявності ядра MATLAB і використовує багато функцій, що входять в його склад.

Слід зазначити, що пакет MATLAB орієнтований насамперед на обробку масивів даних (матриць, векторів і т.д.). Це дозволяє істотно підвищити ефективність процедур, що працюють з вказаними типами даних, в порівнянні з мовами програмування «загального призначення» (Pascal, С і т.д.), і істотно відрізняє MATLAB від інших систем, таких, як MAPLE, MATHCAD, Mathematica. Векторна обробка даних забезпечує високу швидкість обчислень, в більшості випадків позбавляє користувача від написання циклів і гарантує необхідну точність.

Додаток SIMULINK є інструментом, за допомогою якого можна об'єднувати блоки, відповідні окремим елементам динамічної системи в єдине ціле і вивчати їх поведінку в часі.

Розробка моделей засобами SIMULINK (S-моделі) заснована на технології drag-and-drop («перетягни і залиш»). Для побудови S-моделі використовуються модулі (або блоки), що зберігаються в бібліотеці SIMULINK.

Бібліотека SIMULINK хороша тим, що, з одного боку, забезпечує користувачеві доступ до всіх основних можливостей пакету MATLAB, а з іншого – є достатньо самостійною його компонентою, в тому сенсі, що при роботі з нею не обов'язково мати навики у використанні інших інструментів, що входять до складу пакету.

Блоки, що включаються в створювану модель, можуть бути зв'язані один з одним як за інформацією, так і по управлінню. Вид зв'язку залежить від типу блоку і логіки роботи моделі. Дані, якими обмінюються блоки, можуть бути скалярними величинами, векторами або матрицями довільної розмірності.

Будь-яка S-модель може мати ієрархічну структуру, тобто складатися з моделей нижчого рівня, причому число рівнів ієрархії практично не обмежене. Разом з іншими параметрами моделювання користувач може задавати спосіб зміни модельного часу (з постійним або змінним кроком), а також умови закінчення моделювання.

В ході моделювання є можливість спостерігати за процесами, що відбуваються в системі. Для цього використовуються спеціальні «оглядові вікна», що входять до складу бібліотеки SIMULINK. Характеристики, що цікавлять користувача, можуть бути представлені як в числовій, так і в графічній формі.

Застосування принципів структурного і модульного програмування дозволяє представляти різні алгоритми у вигляді набору уніфікованих програмних модулів, що покращує осяжність програми, полегшує її відладку і кінець кінцем зменшує загальний об'єм програмного забезпечення, що підлягає розробці. Окрім цього склад бібліотеки SIMULINK може бути поповнений користувачем за рахунок розробки власних блоків.

У подальших практичних роботах будуть розглянуті типові виконувані елементи, приведені структурні схеми поширених систем базисних функцій, основні блоки, що реалізовують методи апроксимації сигналів і моделювання динамічних систем.

Слід зазначити, що у складі MATLAB є безліч інших додатків, заснованих на методах графічного (візуального) програмування, що допускають спільну роботу із додатком SIMULINK.

Aerospace Blockset – містить спеціальні інструменти для моделювання авіаційних, космічних, реактивних і турбореактивних систем.

DSP Blockset – призначений для проектування систем і моделювання завдань цифрової обробки сигналів (DSP). Дані бібліотеки включають такі ключові операції, як класична, багатоступінчата і адаптивна фільтрація, перетворення, матричні операції і лінійна алгебра, статистика і спектральний аналіз.

Nonlinear Control Design Blockset – надає в розпорядження користувача графічний інтерфейс для налаштування параметрів динамічних об'єктів.

SimPowerSystems – призначений для моделювання електротехнічних і електроенергетичних пристроїв і систем.

SimMechanics – дозволяє моделювати системи управління за допомогою ненапрямлених сигнальних графів, об'єднувати їх з фізичними моделями і моделями з інших бібліотек.

Виконавчі елементи. Пакет SIMULINK запускається з програмного середовища MatLab. Відповідна піктограма розташована на панелі інструментів.

Для початку роботи необхідно створити новий файл *.mdl (Simulink model), у який можна за допомогою миші перетягувати блоки з бібліотеки SIMULINK. Необхідно відзначити, що набори інструментів в бібліотеці вибираються користувачем при установці програми.

У головному меню знаходиться вкладка Simulation/Configuration Parameters, де можна міняти параметри процесу моделювання, такі як час початку і кінця моделювання, вибір виконавця, крок з яким відбувається розрахунок і т.д.

Розглянемо блоки SIMULINK, що часто зустрічаютьсяі.

Для будь-якого блоку по подвійному клацанню миші відкривається вікно параметрів Function Block Parameters, де можна міняти установки.

Джерело сигналів (Sources). На рис. 10.1 представлені деякі джерела сигналів.

Рисунок 10.1 – Джерело сигналів

Constant – задає постійний по рівню сигнал;

From Workspace – блок зчитування даних з робочої області;

From File – блок зчитування даних з файлу;

Sine Wave – формує синусоїдальний сигнал із заданою частотою, амплітудою, фазою і зсувом;

Signal Generator – формує один з чотирьох видів періодичних сигналів (синусоїдальний, прямокутний, пилоподібний, випадковий сигнали);

Ramp – формує лінійний сигнал;

Step – формує ступінчастий сигнал;

Random Number – формує випадковий сигнал з нормальним розподілом рівня сигналу.

Приймачі сигналів (Sinks). На рис. 10.2 представлені блоки-приймачі сигналів

Рисунок 10.2 – Приймачі сигналів

Цифровий дисплей (Display) – відображає значення сигналу у вигляді числа;

Віртуальний осцилограф (Scope) – будує графік сигналу від функції часу;

Віртуальний графічний пристрій (ХУ Graph) – будує графік одного сигналу залежно від іншого (графік виду Y(X));

Блок «То File» - записує дані, що поступають на його вхід, в файл;

Блок «То Workspace» - записує дані, що поступають на його вхід, в робочу область MATLAB.

Блоки математичних операцій.

Рисунок 10.3 – Блоки математичних операцій

Блок Gain – множить вхідний сигнал на заданий коефіцієнт.

Блок Product – перемножує два (або більше) сигналів.

Блок Sum – підсумовує два (або більше) сигналів.

Блок Math Function – перетворює вхідний сигнал по заданій із списку функції (наприклад, зведення в квадрат, корінь квадратний, логарифм і так далі).

Відзначимо ще деякі блоки, що часто зустрічаються (рис. 10.4).

Рисунок 10.4 – Приклади функцій, що часто зустрічаються

Блок Mux (мультиплексор) – об'єднує сигнали. Піктограма мультиплексора показана першою зліва на рис. 9.4.

Блок Integrator – інтегрує сигнал.

Блок MATLAB Fcn – формує функцію, задану користувачем на мові MatLab.

Побудова простих моделей. Розглянемо приклад, на якому покажемо, як будується модель сигналу виду x(t)= 0,5*sinπt + t² на інтервалі [0;2], і відобразимо його на віртуальному осцилографі. На рис. 10.5 приведений один з варіантів побудови сигналу.

Рисунок 10.5 – Модель сигналу x(t)= 0,5*sinπt + t²

Сигнал 0,5*sinπt заданий в параметрах блоку Sine Wave (рис. 10.6).

Для сигналу t² використовувалися два блоки – блок лінійного сигналу і блок математичної функції, де була вибрана функція зведення в квадрат.

Результати роботи виведені на екран віртуального осцилографа (рис. 10.7).

Рисунок 10.6 – Параметри блоку Sine Wave.

Інтервал моделювання заданий в межах від 0 до 2 у вікні меню Simulation/Configuration Parameters.

Рисунок 10.7 – Сигнал x(t)= 0,5*sinπt + t² на екрані віртуального осцилографа.

Нижче приведені структурні схеми віртуальних генераторів систем базисних функцій, які використовуватимуться надалі для поліноміальної апроксимації методами найменших квадратів і рівних площ. Для побудови таких структурних схем можуть бути використані різні підходи. На рис. 10.8, 10.9 зображено дві альтернативні схеми віртуальних генераторів системи степеневих функцій вигляду: .

Перша з них використовує каскадне з'єднання інтеграторів, на вхід першого з яких подається сигнал константи. Вихідні сигнали інтеграторів масштабуються за допомогою масштабних ланок і подаються разом з сигналом константи (1) на входи змішувача (mux) для відображення на екрані віртуального осцилографа (scope). У другій схемі використовуються система множників, що послідовно формує сигнали степеневих функцій. На рис. 10.10 показаний вид сформованої системи функцій.

Рисунок 10.8 – Перший варіант структурної схеми віртуального генератора системи степеневих базисних функцій.

Рисунок 10.9 – Другий варіант структурної схеми віртуального генератора системи степеневих базисних функцій.

Рисунок 10.10 – Зображення системи степеневих функцій на екрані віртуального осцилографа.

На рис. 10.11 приведена структурна схема віртуального генератора системи експоненціальних функцій вигляду: .

У цій схемі використовуються 4 ідентичних послідовно сполучених блоки джерела лінійного сигналу (Ramp) і блоку математичної функції (Math Function). За допомогою меню параметрів виконавчих блоків задаються різні нахили лінійних сигналів (аргументів експоненціальних функцій) і вибирається тип функції блоків математичної функції (в даному випадку – ехр). Вихідні сигнали блоків математичної функції через змішувач подаються на вхід блоку віртуального осцилографа. До одного з входів змішувача підключений сигнал константи (1), що зображає першу з експоненціальних функцій (е⁰). Альтернативний варіант цієї структурної схеми приведений на рис. 10.12. Тут експоненціальні функції кратного аргументу формуються за допомогою множників. Параметри виконавчих елементів як і раніше задаються за допомогою меню параметрів. На рис. 10.13 зображений вид системи експоненціальних функцій на екрані віртуального осцилографа.

Рисунок 10.11 – Структурна схема віртуального генератора системи експоненціальних функцій (варіант 1)

Рисунок 10.12 – Структурна схема віртуального генератора системи експоненціальних функцій (варіант 2)

Рисунок 10.13 – Зображення системи експоненціальних функцій на віртуальному осцилографі.