Методпособие ТМ 2010

12

2. Скользящая заделка в точке С

Рисунок 1.12 – Схема конструкции

Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня СВ, к которому приложено наименьшее число неизвестных сил. Составим расчетную схему стержня, на которой покажем заданную силу F1, момент М и реакции связей. Проведем оси координат хy. Силу F1 спроецируем на координатные оси и покажем ее проекции на схеме. Реакцию ХС скользящей заделки С направим горизонтально. Подвижный шарнир в точке В заменим реакцией RB, которую направим вверх. Для полученной произвольной плоской системы сил (рис. 1.13) составим уравнения равновесия:

Рисунок 1.13 – Расчетная схема стержня СВ

Fkx 0; X С F1 cos60 0

Fky 0; RB F1 sin 60 0

МC (Fk ) 0; F1 cos60 1 F1 sin 60 5 RB 2 M MС 0

Подставив, в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

X С F1 cos60 10 cos60 5кН

RB F1 sin 60 10 sin 60 8.66кН

МС F1 cos60 1 F1 sin 60 5 RB 2 M 10 cos60 1 10 sin 60 5 8,66 2 30 9.02кН

13

Для определения реакций в точке А рассмотрим равновесие всей конструкции в целом. Составим расчетную схему, на которой покажем заданные силы и реакции связей. Распределенную нагрузку интенсивностью q заменим сосредоточенной силой Q, модуль которой определим по формуле Q q l 5 2 10Н . Силу приложим по центру участка. Реакцию жесткой заделки в точке А покажем двумя составляющими ХА и YА, здесь же покажем момент МА.

Рисунок 1.14 – Расчетная схема конструкции

Для полученной произвольной плоской системы сил (рис. 1.14) останутся

всиле уравнения к рисунку 1.11:

Fkx 0; X A F1 cos60 0

Fky 0; YA Q RB F1 sin 60 0

M A (Fk ) 0; F1 cos60 2 F1 sin 60 7 RB 4 M Q 1 M A 0

Подставив, в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

M A 10 cos60 2 F1 sin 60 7 RB 4 M Q 1 10 cos60 2 10 sin 60 7 8.66 4 3010 4.02кН

X A F1 cos60 10 cos60 5кН

YA Q RB F1 sin 60 10 8.66 10 sin 60 10кН

Для проверки найденных реакций составим уравнение моментов для всей конструкции (рис. 1.14) относительно точки С.

M С (Fk ) 0; X A 3 YA 2 M А Q 1 М RB 2 F1 sin 60 5 F1 cos60 1 0 5 3 10 2 4.02 10 1 30 8.66 2 10 sin 60 5 10 cos60 1 0

15 20 4.02 10 30 17.32 43.3 5 0

0 0

Равенство выполняется, значит, реакции найдены, верно. Результаты расчета приведены в таблице 1.

14

Таблица 1.1

Тип соединения			Реакции, кН					Моменты, кНм
	ХА	YA		RB		XC	YC	МА	МС
Соединение	5	5,49		-4,15		5	-4,51	-14,02	-
шарниром
Соединение
скользящей	5	10		-8,66		5	-	4,02	9,02
заделкой

1.8 Произвольная пространственная система сил

1.8.1 Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил

Совокупность сил, действующих на тело, называют системой сил. Если силы, действующие на тело, лежат в разных плоскостях, то такую систему сил называют пространственной.

Решение задач статики в основном сводится к составлению уравнений равновесия системы сил и их дальнейшему решению. Условия равновесия любой системы сил определены равенствами R=0 и Мо=0, где R - главный вектор, а Мо – главный момент. Векторы R и Мо будут равны нулю только тогда, когда их проекции на оси координат тоже будут равны нулю, то есть Rx=Ry=Rz=0 и Mx=My=Mz=0. Этому условию соответствуют шесть основных уравнений равновесия сил, расположенных произвольно в пространстве:

∑Fkx=0, ∑Fky=0, ∑Fkz=0; ∑Mx(Fk)=0, ∑My(Fk)=0, ∑Mz(Fk)=0.

Первые три уравнения называются уравнениями проекций сил на оси, а последующие три уравнения – это уравнения моментов сил относительно координатных осей.

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.

1.8.2 Проекция силы на плоскость

При решении задач на произвольную пространственную систему сил иногда не удается сразу спроецировать силу на координатные оси. В таком случае требуется найти проекцию силы на плоскость (рис. 1.15), а уже затем проекции силы на оси.

Проекцией силы на плоскость Оху называется вектор , Fxy = OB1, заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость.

15

Рисунок 1.15 – Нахождение проекции силы F на плоскость

По модулю Fху = Fcos , где угол между направлением силы F и ее проекцией Fxy.

Проекции силы F на оси координат в данном случае равны:

Fх = ОВ2 = Fху cos = F cos cos , Fу = ОВ3 = Fху sin = F cos sin ,

Fz = F sin .

1.8.3 Момент силы относительно оси

Момент силы относительно оси равен моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Момент силы F относительно оси считают положительным, если с положительного конца оси поворот, совершаемый составляющей Fxy этой силы F, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу часовой стрелки.

Рисунок 1.16 – Нахождение момента силы относительно оси

Для того, чтобы найти момент какой-либо силы F относительно какойнибудь оси z, нужно:

1. провести плоскость xy, перпендикулярную оси z;

16

2.спроектировать силу F на эту плоскость и вычислить модуль Fxy ее составляющей Fxy;

3.опустить из точке О пересечения оси z с плоскостью xy перпендикуляр на

линию действия составляющей Fxy и найти его длину h, то есть плечо силы Fxy относительно точки О;

4.вычислить произведение Fxyh;

5.определить знак момента силы Fxy относительно точки О.

Вданном случае момент силы будет равен: М z (F) MO (Fxy ) F cos h .

Из определения момента силы относительно данной оси z следует:

1.Момент силы F относительно данной оси z не изменяется при переносе точки приложения этой силы вдоль линии ее действия, так как при этом не изменяется ни проекция Fxy силы F на плоскость xy, ни ее плечо h.

2.Если сила F перпендикулярна к оси z, то модуль ее момента относительно этой оси равен произведению модуля силы на кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью.

Момент силы F относительно оси z равен нулю в тех случаях, когда линия действия этой силы и ось z лежат в одной плоскости. При этом возможны следующие частные случаи:

а) сила F параллельна оси z (в этом случае Fxy=0);

б) линия действия силы F пересекает ось z (в этом случае h=0).

1.8.4 Момент пары сил относительно оси

Момент пары, как вектор, направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда вращение тела парой сил представляется происходящим против направления вращения часовой стрелки.

Рисунок 1.17 Момент пары сил

Так как пару сил можно переносить в ее плоскости действия и в любую другую плоскость, ей параллельную, то ее момент не имеет определенной

17

точки приложения и является свободным вектором. Такие векторы можно переносить параллельно самим себе в любую точку тела.

Модуль момента пары сил равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо. Значение момента пары сил можно также находить как момент одной из сил пары относительно точки приложения другой силы.

При определении момента пары сил относительно какой-либо оси достаточно найти проекцию вектора-момента этой пары на данную ось. На рисунке момент пары сил относительно осей будет равен:

М1х = 0; М1у = М1; М1z = 0;

1.8.5 Порядок решения задач на произвольную пространственную систему сил

В заданиях к расчетно-графической работе на данную тему, как правило, требуется определить реакции опор. Задачи такого типа можно решать в следующей последовательности.

1.Устанавливаем тело, равновесие которого будем рассматривать.

2.Определяем виды связей, наложенных на тело и их реакции.

3.Составляем расчетную схему, на которой связи заменяем реакциями, а также показываем все заданные силы и геометрические размеры.

4.Составляем шесть уравнений равновесия и, решая их, находим неизвестные величины.

1.8.6 Пример выполнения расчетно-графической работы «Определение реакций опор твердого тела»

Квадратная плита (рис. 1.18) весом 200 Н горизонтально крепится к стене в точках А и В, а снизу опирается на стержень СD. На плиту действует пара сил.

Рисунок 1.18

18

Известно, что F=180 Н, KL=KN=0,6м; =70 ; a=0,8м; b=1м; c=0,4 м; F || x, LN x. Определить реакции опор конструкции.

Дано: P=200 Н, F=180 Н, KL=KN=0,6м; =70 ; a=0,8м; b=1м; c=0,4 м; F || x, LN x

Найти XA, YA, ZA, ZB, XB, S

Решение.

Рассмотрим равновесие данной конструкции. Конструкция находится в равновесии под действием приложенных сил – веса P, пары сил и реакций связей. Пару сил можно показать на расчетной схеме в виде вектора момента M, модуль которого будет равен М= F∙h = F∙LN =180∙1.2=216 Нм.

На конструкцию наложены следующие связи: в точке А – сферический шарнир, в точке В – цилиндрический шарнир и в точке С – стержень. Составим расчетную схему, на которой покажем заданные силы: вес плиты P, пару сил с моментом М. Освободимся от связей, заменив их на расчетной схеме реакциями: сферический шарнир в точке А заменим составляющими реакции шарнира XA, YA, ZA, цилиндрический шарнир В – составляющими ZB, XB, реакцию стержня S направим вдоль стержня вниз, предполагая, что стержень растянут. Реакцию стержня S представим в виде проекций на координатные оси:

SX= -S∙cos30 , SZ= -S∙sin30

При определении момента пары сил относительно какой-либо оси достаточно найти проекцию вектора-момента этой пары на данную ось:

МZ=M∙sin20 =216∙sin20 =73,88 Нм, МY=M∙cos20 =216∙cos20 =202,97 Нм

Рисунок 1.19 – Расчетная схема к задаче

Чтобы было удобно составлять уравнения равновесия, можно составить для каждой из трех плоскостей (ZX, ZY, XY) свою расчетную схему. При

19

составлении расчетной схемы для каждой плоскости взгляд направляем со стороны положительного отсчета каждой оси.

Построим расчетную схему для плоскости ZY. При построении смотрим с конца оси x. На расчетной схеме вначале изображаем координатные оси z и y. Затем, в точках А и В показываем реакции YA, ZA, ZB. По центру плиты изображаем вес Р. В точке С показываем проекцию силы S на ось z. Пара сил относительно оси x момента не создает, так как F||x, реакции XA, XB на плоскость ZY проецируются в точку, поэтому на схеме их не показываем.

Рисунок 1.20 – Расчетная схема в плоскости ZY

Условия равновесия для полученной пространственной системы сил состоят из шести уравнений равновесия. По данной расчетной схеме можно составить три уравнения равновесия:

Fky	0;	YA	0;			(1.17)
Fkz	0;	Z A	Z B P S sin 30 0;			(1.18)
M x Fk 0;			P(a	b	) S sin 30(a b) Z B (a b c) 0	(1.19)
			2

Рассмотрим плоскость XY. Составим расчетную схему, смотрим со стороны оси z. Покажем силы, которые проецируются на плоскость XY.

Рисунок 1.21 – Расчетная схема в плоскости XY

		20
Момент		пары сил Мz покажем дуговой стрелкой.		Составим два
уравнения равновесия.
Fkx 0;	X A X B S cos30 0;			(1.20)
M z Fk 0;		S cos30(a b) X B (a b c) M Z	0	(1.21)

Рассмотрим плоскость ZX. Составим расчетную схему и запишем уравнение равновесия.

Рисунок 1.22 –

Расчетная схема в плоскости ZX

M y Fk 0;

S sin 30b P

b

M y 0

(1.22)

2

Определим неизвестные величины. Из уравнения (1.22) найдем

реакцию стержня S.

S

P0,5b M y

200 0,5 1 202,97

605,94

Н

sin 30 1

sin 30b

Знак «минус» означает, что стержень СD сжат.

Из уравнения (1.21) найдем реакцию XB.

X

S cos30(a b) M Z

605,94 cos30(0,8 1) 73,88

395,77

Н

B

(a b c)

(0,8 1 0,4)

Из уравнения (1.20) найдем реакцию XА.

X A X B S cos30 395,77 605,94 cos30 128,99

Н

Из уравнения (1.19) найдем ZВ.

P(a

b

) S sin 30(a b)

200(0,8

1

) 605,94 sin 30(0,8 1)

ZB

2

2

129,7 Н

(0,8 1 0,4)

(a b c)

Из уравнения (1.18) найдем ZА.

Z A ZB P S sin 30 129,7 200 605,94 0,5 26,73

Н

Из уравнения (1.17) следует, что YA=0.

Знак «минус», стоящий перед реакциями XA, ZB, XB, означает, что

реакции направлены в противоположную сторону.

Чтобы

убедиться, что реакции найдены

правильно,

выполним

21

проверку. Составим уравнение моментов относительно оси, проходящей через точку О на рисунке 1.23. Положение точки О выбираем так, чтобы в уравнении моментов присутствовали моменты от всех найденных неизвестных реакций. Размер d назначим произвольно и примем его равным 0,5 м.

Рисунок 1.23 – Расчетная схема для выполнения проверки

M О Fk 0; S cos 30 0,5b S sin 30 d X B d X A d MY 0.5b (ZB Z A ) 0

605.94 cos 30 0,5 605.94 sin 30 0,5 395.77 0.5 128.99 0.5 202.970.5( 129.7 26.73) 0

262.38 151.49 197.89 64.5 202.97 51.49 0

0 0

Равенство выполняется, значит, реакции определены, верно.

Ответ: XA=-128,99 Н, YA= 0 Н, ZA=26,73 Н, ZB=-129,7 Н, XB=-395,77 Н, S=-605,94 Н.

1.9 Задания к расчетно-графической работе «Определение реакций опор составной конструкции»

Конструкция состоит из двух частей. Определить реакции опор в случае соединения частей конструкции шарниром и скользящей заделкой. Определить реакции шарнира и скользящей заделки в точке С. Исходные данные даны в таблице 3. Схемы конструкций приведены на рисунках 1.24-1.27. Вид скользящей заделки в зависимости от варианта задания показан в таблице 2.