Методпособие ТМ 2010

32

Раздел 2 Кинематика

2.1 Плоскопараллельное движение твердого тела.

Плоскопараллельным (или плоским) движением абсолютно твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела движутся параллельно какой-либо неподвижной плоскости. Примером такого движения являются: движение колеса по прямолинейному участку пути, движение шатуна в кривошипно-шатунном механизме.

Рассмотрим твердое тело в пространстве, покажем плоскость, параллельно

			которой оно движется (плоскость П).
			Возьмем на теле отрезок LN,
			перпендикулярный плоскости П. Так
			как	по	определению		плоского
			движения		все	тело	движется
			параллельно плоскости П, то отрезок
			LN	совершает		поступательное
			движение, и в какой-то момент
			времени займет положение L’N’.
			При	этом LL’ =		NN’, а LN = L’N’.
			Любая точка отрезка LN, например,
			точка М, движется также, как и L и
			N. То есть движение точек тела,
			лежащих			на	прямой,
			перпендикулярной к плоскости П,
			определяется движением				одной из
Рисунок 2.1 – Тело в пространстве			этих точек, а движение всего тела –
			движением		сечения S плоскостью,

параллельной основной неподвижной плоскости П. Таким образом плоскопараллельное движение тела в пространстве сводится к рассмотрению движения неизменяемой плоской фигуры S в ее плоскости, то есть пространственная задача сводится к плоской.

Изобразим в плоскости ху плоскую фигуру, являющуюся сечением тела S. Положение этой фигуры определяется положением произвольного отрезка АВ, принадлежащего этой фигуре.

Рисунок 2.2 – Положение тела на плоскости

33

Положение отрезка АВ на плоскости ху определяется координатами одной из его точек, например, точки А(ХА, YА), и углом φ, который отрезок АВ образует с осью х.

Точку А, выбранную для определения положения тела, называют полюсом.

Полюсом может быть любая точка тела.
Если в любой момент времени известны функции
ХА = ХА(t), YА = YА(t), φ = φ(t),	(2.1)

то движение плоской фигуры в ее плоскости определено. Уравнения (2.1) называются уравнениями плоскопараллельного движения тела.

Теорема 1. Всякое перемещение плоской фигуры в ее плоскости может быть составлено из поступательного перемещения, при котором все точки фигуры движутся как полюс, и поворота фигуры вокруг этого полюса.

Чтобы наглядно убедиться в справедливости этой теоремы, изобразим два произвольных положения плоской фигуры S, которые характеризуются

положениями отрезков А1В1 и А2В2.
Выберем за полюс точку А. Для того, чтобы	из положения 1 перейти

в положение 2 переместим сначала поступательно фигуру S так, чтобы А1 совпала с А2. Получим некоторое промежуточное положение фигуры. Затем повернем фигуру вокруг полюса А так, чтобы совпали точки В3 и В2. В результате получим положение 2 фигуры (рис. 2.3, а)).

а)

б)

Рисунок 2.3 –Иллюстрация доказательства теоремы 1.

Таким образом, действительно плоское движение тела в его плоскости может быть представлено как сумма двух движений – поступательного вместе с точкой, выбранной за полюс и вращательного вокруг этого полюса. Теорема доказана.

Рассмотрим, что изменится, если за полюс взять другую точку тела, например точку В. Изобразим те же положения тела 1 и 2. сначала переместим поступательно фигуру так, чтобы точка В1 совпала с точкой В2, получив промежуточное положение 3 , а затем повернем фигуру из положения 3 в положение 2 вокруг точки В2 так, чтобы А3 совпало с А2 (рис. 2.3, б)). При этом видим, что поступательные перемещения А1А2 и В1В2 не совпадают, то есть поступательная часть плоского движения тела зависит от выбора полюса. Углы А3В2А2 и В2А2В3 совпадают, так как являются углами между параллельными

34

прямыми. Следовательно, вращательная часть плоского движения фигуры не зависит от выбора полюса.

Исходя из двух получившихся заключений можно сделать вывод о том, что при соответствующем выборе полюса можно «занулить» поступательную часть плоского движения тела.

Теорема 2. Плоское движение фигуры в ее плоскости может быть выполнено одним поворотом ее вокруг некоторого центра, называемого

мгновенным центром вращения или мгновенным центром скоростей.

Пусть имеем два любых положения плоской фигуры 1 и 2, причем А1В1

Рисунок 2.4 – Иллюстрация доказательства теоремы 2

не параллелен А2В2. Если из положения 1 фигура переместилась в положение 2 благодаря лишь повороту вокруг некоторой точки Р, то расстояния А1Р = А2Р, а В1Р = В2Р, так как при повороте радиус вращения не изменяется. Точки, равноудаленные от А1 и А2 лежат на прямой, перпендикулярной к А1А2 и проходящей через его середину, а точки, равноудаленные от В1 и В2 лежат на прямой, перпендикулярной к В1В2 и проходящей через его середину. Восстанавливая перпендикуляры из середин отрезков А1А2 и В1В2, найдем точку их пересечения – точку Р. Она и является мгновенным центром вращения или мгновенным центром скоростей тела. (рисунок 2.4).

При движении тела положение точки Р меняется. При этом точка Р описывает траекторию как в самой плоскости, связанной с движущимся телом, так и в неподвижной плоскости, параллельно которой происходит движение плоской фигуры. Траектория, описываемая точкой Р в плоскости фигуры, называется подвижной центроидой, а траектория, описываемая точкой Р в неподвижной плоскости, называется неподвижной центроидой.

2.2 Определение скоростей точек тела при плоскопараллельном движении

Рассмотрим движение тела с точки зрения первой теоремы. Изобразим тело, введем на плоскости неподвижные оси ху. Выберем за полюс точку А тела и свяжем с ней подвижные оси х/у/. Положение любой точки М определяется векторным равенством

r M r A r			(2.2)

35

Дифференцируя по времени равенство (2.2), получим

drM

drA

dr

drM

drA

V M ,

V A.

dt

dt

dt

dt

dt

Рисунок 2.5 – Определение положения произвольной точки М

dr dt - это изменение радиуса-вектора точки М относительно точки А,

то есть скорость точки М при вращении тела вокруг полюса А. Обозначим эту
скорость VMA . Ее модуль определяется согласно				теории вращательного
движения тела по формуле
			= ωMA	(2.3)
	VMA

В этой формуле ω – это угловая скорость вращения тела вокруг полюса А, величина, не зависящая от выбора полюса, МА – расстояние между точками А и М.

Вектор скорости VMA направляется как и при вращательном движении, перпендикулярно к отрезку МА, являющемся радиусом для точки М относительно полюса А; при этом направление VMA совпадает с направлением

вращения.

Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-либо другой точки, выбранной за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса:

VM VA VMA			(2.4)

36

Рисунок 2.6 – Определение скорости точки М согласно теореме 1

За полюс удобно выбирать ту точку тела, скорость в которой известна или может быть легко определена.

Рассмотрим движение тела согласно определению, данному в теореме 2. Если за полюс выбрать точку Р, являющуюся в данный момент времени

мгновенным центром скоростей тела, то по формуле (2.4) получим:

VM VP VMP
А так как VP = 0, VMP = ωMP , то
VM VMP MP	(2.5)

Как видим, полученная формула позволяет достаточно просто найти скорость любой точки тела. Для этого надо знать положение мгновенного центра скоростей тела и расстояние до него точки М.

Существуют несколько способов нахождения положения МЦС (точки

Р).

1. Если известны направления скоростей 2-х точек плоской фигуры, то мгновенный центр скоростей Р находится на пересечении перпендикуляров, проведенных к скоростям точек из этих точек. Если при этом одна из скоростей точек известна и по модулю, то можно определить скорость любой точки тела.

Пусть известна |VA |. Тогда
				ω = VA/РА							(2.6)
– угловая скорость вращения данной фигуры.
Скорость произвольной точки М согласно (2.5) определится по формуле
		VM = ωMP =					VA		MP.		(2.7)
							PA
Сравнивая формулы (6) и (7) делаем вывод, что
		ω=	VA		VM			VK		.....	(2.8)
			PA		PM			KP

Расстояния РА, РМ, КР и т.д. определяются с использованием теорем геометрии.

37

Рисунок 2.7 - Определение скоростей точек тела согласно теореме 2

2. Если скорости двух точек тела параллельны друг другу (V A || V B), но точки не лежат на общем перпендикуляре к скоростям, проведенным через одну из этих точек, то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности. Само тело в данный момент

Рисунок 2.8 – Поступательное движение тела

времени совершает мгновенно поступательное движение. В этом случае скорости всех точек тела равны по модулю и по направлению:

V A V B V M ...	(2.9)
3. Если скорости двух точек тела параллельны друг другу (V A	|| V B), и точки

лежат на общем перпендикуляре к скоростям, проведенным через одну из этих точек, то мгновенный центр скоростей находится на пересечении этого перпендикуляра с прямой, проходящей через концы векторов скоростей точек, отложенных в масштабе. Все точки тела, лежащие на прямой АВ, имеют

скорости, параллельные V A и V B. Модули скоростей связаны соотношением

(2.8).

Скорость точки К, не лежащей на прямой АВ, определяется согласно описанию, приведенному в пункте 1:

VK = ωKP, V K KP, направление согласовано с направлением ω.

38

Рисунок 2.9 – Определение МЦС В случае качения колес: а) – без скольжения; б) – со скольжением

Примером такого случая движения тела является качение колеса без проскальзывания по прямолинейному участку пути (рис. 2.9, а).

Если скорости двух точек тела параллельны, но противоположно направлены, мгновенный центр скоростей определяется так же, как описано выше. Этот случай имеет место при качении ведущего колеса с проскальзыванием (рис. 2.9,б).

Кроме двух описанных случаев определения скорости точки М плоской фигуры

(1: VM VA VMA , 2: VM = ωMP), есть еще один, который можно рассматривать

как следствие 1-ого способа, и как следствие второго способа. Формулируется он следующим образом: проекции скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки, равны.

Действительно, принимая точку А за полюс и проецируя на прямую АВ равенство (4), получим (рис. 10):

VВ cosβ = VAcosα + VВА cos90o = VA cosα, VA cosα = VВ cosβ.

Рисунок 2.10 – Иллюстрация доказательства теоремы о равенстве проекций скоростей 2-х точек тела на прямую, их соединяющую

39

2.3 Определение ускорений точек тела при плоскопараллельном движении

Для определения ускорения точки М воспользуемся формулой (2.4). Выберем за полюс точку А тела и будем определять ускорение произвольной точки М:

.

VM

VA

VMA

Продифференцируем это равенство по времени:

dVM

dVA

dVMA

.

(2.10)

dt

dt

dt

dVM

dVA

dVMA

aM ,

aA ,

aMA .

(2.11)

dt

dt

dt

Ускорение

aMA -

это ускорение точки М при вращении тела вокруг

полюса А с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. Оно определяется согласно теории вращательного движения тела по формуле:

		n			n	2	MA .	(2.12)
aMA aMA aMA , где			aMA MA ,		aMA

Модуль вектора aMA определяется по формуле
	aMA	(aMA )2 (aMAn )2 =МА 2 4 .						(2.13)
Угол μ	(рисунок 2.11) между направлением				aMA	и прямой МА
определяется по формуле
	tgμ = ε/ω2.							(2.14)
	n
Вектор	aMA направлен из точки М к полюсу А;			вектор		aMA		направлен

перпендикулярно МА в сторону, согласованную с направлением углового ускорения тела ε.

Рисунок 2.11 – Определение ускорения произвольной точки М

40

Точка А, выбранная нами за полюс, в общем случае криволинейного движения имеет ускорение, определяющееся по двум составляющим:

		n
a A aA a A .			(2.15)

Таким образом, ускорение произвольной точки М можно определить, зная ускорение другой точки тела, выбираемой за полюс, по формуле:

				n		n
aM	aA aMA aA aA aMA aMA .						(2.16)

Ускорение точки М тела можно определить также и используя формулу

(2.5): VM = ωMP.

Продифференцируем равенство (2.5) по времени, получим:

M

dV

M

d ( MP)

d

d MP

.

a

MP

(2.17)

dt

dt

dt

dt

В этой формуле производная правой части определяется как производная от произведения функций, зависящих от времени, так как с течением времени меняется и угловая скорость и расстояние точки до мгновенного центра скоростей МР.

d - угловое ускорение точки в данный момент времени; dt

	d MP		- неизвестная величина, так как неизвестна функция изменения
	dt

расстояния МР с течением времени. Таким образом, формула (2.17) имеет

	смысл, если	d MP		= 0, то есть когда расстояние точки до мгновенного центра
		dt

скоростей остается постоянным. Это происходит в случае качения диска по неподвижной поверхности, если точка М - центр диска. Тогда

		M	dV M					MP
	a								(2.18)
			dt

- ускорение центра диска при его качении по прямолинейной поверхности (рис. 2.12,а ).

Рисунок 2.12 – Ускорение центра диска в случаях прямолинейного (а) и криволинейного (б) движения

41
В случае качения диска по криволинейной поверхности ускорение
центра диска определяется по формулам (рис. 2.12,б):
	dV M					M		MP ,
					a				(2.19)
	dt

anM 2 , где - радиус кривизны дуги, описываемой точкой М. Аналогично понятию «мгновенный центр скоростей» на плоскости в

каждый момент времени есть точка Q, называемая мгновенным центром ускорений, характеризуемая тем, что ее ускорение в данный момент времени

равно нулю. Эту точку можно найти, если известно ускорение a A какой-либо точки А тела и величины углового ускорения ε и угловой скорости ω тела в

данный момент времени.

Для построения точки Q надо (см. рис. 2.13):

1) найти значение угла μ из выражения tg

;

2

2) начертить на плоскости известное ускорение

и от точки А под

a A

углом μ, отклоненным от вектора

a A в направлении ε, провести прямую АЕ;

3) отложить от точки А вдоль прямой АЕ отрезок АQ,

равный

AQ

aA

.

(2.20)

2 4

Найденная таким

образом

точка Q и является

мгновенным центром

ускорения. Проверим это. Для проверки найдем ускорение точки Q, aQ .

где aQA AQ

2

4

.

aQ

aA aQA ,

Рисунок 2.13 – Определение положения мгновенного центра ускорений

Вектор aQA образует с прямой AQ угол μ (так как это ускорение точки Q

вокруг полюса А, см. формулы 2.12-2.14), поэтому aQA ║ aA . По направлению эти векторы противоположны. Тогда имеем: