Методпособие ТМ 2010
.pdf
62
действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).
Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение S станет равным S1 = 0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы, где обозначено: vcl - скорость центра масс тела 1, ω3 - угловая скорость тела 3 и т.д.
Все катки, включая и катки, обмотанные нитями (как, например, каток 2 на рис. Д3), катятся по плоскостям без скольжения.
На всех рисунках не изображать груз 5 или 6, если т5= 0 или т6= 0, а также каток 1 на рисунках Д1-Д4, если m1 = 0, и каток 2 на рис. Д5-Д9, если т2= 0; все остальные тела должны изображаться и тогда, когда их масса равна нулю.
Студент выбирает вариант задания по двум последним цифрам зачетной книжки. Номер условия по последней, а номер рисунка по предпоследней цифре.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
т1 |
т2 |
т3 |
т4 |
т5 |
т6 |
C |
M |
F=f(s), H |
Найти |
|
услови |
кг |
кг |
кг |
кг |
кг |
кг |
Н*м |
Н*м |
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
4 |
0 |
6 |
0 |
180 |
1,2 |
80(3+4s) |
Vcl |
|
1 |
0 |
2 |
0 |
6 |
0 |
4 |
120 |
0,6 |
20(6+5s) |
Vc2 |
|
2 |
6 |
0 |
0 |
2 |
4 |
0 |
400 |
1,8 |
60(4+s) |
ω3 |
|
3 |
0 |
4 |
6 |
0 |
0 |
2 |
240 |
0.3 |
40(3+8s) |
ω4 |
|
4 |
4 |
0 |
0 |
2 |
0 |
6 |
320 |
1,5 |
50(5+2s) |
V6 |
|
5 |
2 |
0 |
4 |
0 |
0 |
6 |
100 |
0,9 |
30(4+3s) |
Vc2 |
|
6 |
0 |
4 |
0 |
6 |
2 |
0 |
160 |
2,4 |
60(2+5s) |
V5 |
|
7 |
6 |
0 |
0 |
4 |
0 |
2 |
120 |
0,3 |
80(1+4s) |
ω4 |
|
8 |
0 |
6 |
2 |
0 |
4 |
0 |
200 |
1,2 |
20(8+3s) |
Vcl |
|
9 |
0 |
1 |
0 |
4 |
6 |
0 |
100 |
0,6 |
40(3+2s) |
ω3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63
Таблица 3.2
64
3.4 Порядок выполнения задания Д-2
Записать полное условие задания и сделать рисунок системы, соответствующий выполняемому варианту, сделать краткую запись задачи.
Провести статический анализ механизма Определить направления скорости. Провести кинематический анализ системы
Упростить задачу - свести задачу к движению тела под действием силы или вращения тела под действием момента Предварительная оценка значения скорости.
Определить кинетическую энергию системы Определить сумму работ всех внешних сил. Определить скорость.
Провести анализ полученного результата
3.5 Примеры решения и оформления заданий Д - 2
Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы 1 Условие задания Д - 2
Механическая система (рис. 3.1 а) состоит из сплошного однородного цилиндрического катка 1, подвижного блока 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R3 и г3 и радиусом инерции относительно оси вращения ρ3, блока 4 и груза 5 (коэффициент трения груза о плоскость равен f). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкив 3. К центру Е блока 2 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости С, ее начальная деформация равна нулю. Система приходит в движение из состояния покоя под действием
силы F = f(s), зависящей от перемещения точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент М сил сопротивления.
Дано:m1 = 8 кг, m2 = 0, m3 = 4 кг, m4 = 0, m5 = 10 кгэ
R3 = 0,3 м, r3=:0,1м, ρ3=0,2м, f=0,1,С = 240Н/м,
M = 0,6Hм, F = 20(3+2S)H, S1=0,2 м.
Определить: ω3 в тот момент времени, когда S = S1.
Решение:
Целью данного решения является решение предлагаемой задачи в упрощенной и первоначальной постановках Сравнение результатов должно помочь оценить правдоподобность полученных результатов.
Рассмотрим движение неизменной механической системы, состоящей из весомых тел 1, 3, 5 и невесомых тел 2, 4, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные
65
Рисунок 3.1
F ; F упр , Р1 , Р3 , Р5 реакции N1 , N3 , N4 , N5 натяжение нити S2 , силы трения F1тр ,
тр
F 5 и момент М.
2. Исследование состояния покоя Механизм под действием указанных на чертеже сил может находиться в состоянии покоя.
Определим натяжение нити, прикрепленной к малой и большой ступени 3 колеса, рассмотрим равновесие каждого тела заданной механической системы. При этом следует иметь в виду, что точки K1 и K2 неподвижны (мгновенные центры скоростей).
Сила F, вес 1-го колеса пытаются вращать с помощью нити, намотанной на малую ступень колеса 3, это колесо против часовой стрелки. Препятствует
этому движению силa трения F 5тр , сила упругости и момент сил сопротивления.
Момент, вращающий колесо 3 против хода часовой стрелки, равен:
(F + P1sin60°)r3
Так как весом 2-го колеса по условию задачи можно пренебречь, этому моменту противоположен момент:
|
т р |
|
|
F * |
R |
|
|
|
|
||||
F 5 |
r3 |
M |
упр |
3 |
||
2 |
||||||
|
|
|
|
|||
Итак, условием равновесия является:
66
F P sin 60 F тр |
М |
|
Fупр* R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
5 |
r3 |
|
|
2r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20(3 2s ) |
P sin 60 f P |
|
М |
|
Fупр* R3 |
(3.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
5 |
|
r3 |
|
2r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь F* |
-среднее значение силы упругости, равное: |
|
|||||||||||
|
упр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F * |
0,5c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
упр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где - удлинение пружины В равенстве есть члены с разными знаками и поэтому при некоторых
соотношениях заданных параметров система может находиться в покое.
3. Определение направления угловой скорости |
|
|||
По условию задачи Fупр |
вначале |
равнялось |
нулю, массой подвижного |
|
блока |
2 пренебречь, |
а сила |
F = 60H |
и P1 sin 60 = 80 • 0,866 = |
69Н, т.е. начальный момент движущий равен: |
|
|||
(F P sin 60 )r 129 0,1 12 Нм |
|
|
||
1 |
3 |
|
|
|
а препятствующий момент равен:
f P5 r3 M 0,1 100 0,1 0,6 1,6 Нм,
т.е. шкив 3 вращается против хода часовой стрелки. При этом сила упругости начнет возрастать.
При значительных величинах S момент движущий и препятствующий уравновесят друг друга и движение прекратится.
4.Кинематический анализ системы Скорости всех тел, входящих в систему, выразим через искомую угловую скорость соз.
Для этого предварительно заметим, что Vc1 = VA, где А - любая точка обода радиуса г3 шкива 3 и что точка К1 - мгновенный центр скоростей катка 1, радиус которого обозначим r1 (см. рис. 1). Тогда
V |
V |
r ; |
Vc1 |
|
|
Vc1 |
|
|
r3 |
;V |
|
|
VD |
|
3r3 |
|
|
|
3 r |
|
|
|
|||||||||
c1 |
c5 |
3 3 1 |
K C |
|
r |
|
|
B |
2 |
|
2 |
||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
Все кинематические характеристики сведены в таблицу:
67
Таблица 3.3
|
|
Vc1 3 r3 |
V5 Vc1 |
1 |
|
|
Vc1 |
3 |
r3 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
Скорости |
ω |
|
|
|
|
V |
B |
3 3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
K1C1 |
|
r1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Перемещение |
φ3 |
S1 3r3 |
S5 S1 |
1 |
|
3 r3 |
|
|
|
SB |
|
3 R3 |
|
S |
|
R3 |
|
||
|
r1 |
|
|
2 |
2 |
r3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Линейные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перемещения |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
||
пронормированы по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 a угловые по φ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для проверки полученных соотношений проведем графический анализ. Изобразим систему в масштабе. Зададим перемещение шкиву 3 и пропорционально сместим все остальные элементы системы Сравним углы φ1, φ3, φ4, и перемещения точек и сверим с третьей строкой таблицы 2. Противоречий не должно быть.
5. Решение упрошенной задачи Изобразим на графике (рис. 3.2) как функции перемещения составляющие
момента вращающего шкива 3 против хода часовой стрелки со знаком "+" и момента препятствующего этому вращению со знаком "-".
Момент, создаваемый весом катка 1, постоянен и равен 6,9 Нм. Момент силы
упругости |
|
изменится пропорционально |
S |
от 0 до величины |
||||||
M |
|
|
с |
R |
|
|
240 0.3 |
0,3 10,8 Нм. Сила трения тела 5 создает момент, равный 1 |
||
упр |
|
3 |
|
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Нм.
Сила F приводит к моменту так же линейно зависящем от перемещения и равном 20(3 + 2s)r3, т.е. изменится от 6 до 6,8 Нм.
Таким образом, средний момент вращения равен:
М* = Mр +МFср= 6,9 6 6,8 =13,3 Н*м 2
Средний момент, препятствующий вращению, равен:
М** = M +М + М ср |
= 0,6 +1,0+ |
0 10,8 |
=7 Н*м |
|
|
||||
F5 |
упр |
2 |
|
|
|
|
|
||
Вычитая из вращающего момента препятствующий, получим, что вращение шкива 3 происходит под действием среднего по перемещению результирующего момента, равного:
М = 13,3- 7 =6,3 Н*.
Из предыдущих курсов известны формулы, связывающие угловые перемещения, скорость и ускорение.
68
0 0 t Et22 ; 0 Et
Рисунок 3.2
69
В задачах этого задания 0 = 0, 0 = 0 и, поэтому, можно, исключив время, получить соотношение:
2E
Угловое ускорение шкива Е определяем из дифференциального уравнения вращательного движения:
M IE
Для рассматриваемого примера угловое перемещение шкива выражаем через перемещение S точки С1,.
s r3
Таким образом, |
|
|
|
|
|
2s |
|
M |
(3.2) |
|
|
|||
|
r3 |
I |
|
|
6. Оценка значения угловой скорости по упрощенной схеме Пусть массы всех тел кроме 3-го шкива равны нулю. Естественно, что при
этом угловая скорость шкива 3 будет больше, чем в предлагаемой задаче. Определим ω по формуле (3.2). Так как момент инерции 3-го шкива равен:
I m |
2 |
4 0.22 |
0.16 |
кг∙м2; то |
||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
2s |
|
M |
|
|
2 0.2 |
|
6.3 |
|
12.5 с-1 |
||
r3 |
I |
|
0.1 |
0.16 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть масса 3-го шкива равна массе всей системы:
т= m1 + т5 + mS= 22 кг.
Тогда момент инерции будет равен:
I* m 2 = 2,2 • 0,22 = 0,88 кг • м2.
Подставляя числовые данные, получим:
* * |
|
2s |
|
M |
|
|
2 0.2 |
|
6.3 |
|
5,35 с-1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
r3 |
I * |
|
|
0.1 |
|
0.88 |
|
|
||
Можно ожидать, что ответ находится в пределах между значениями ** и *.
70
По существу это предположение означает, что тела 1 и 5 движутся поступательно со скоростями точек шкива 3, расположенных на расстоянии г = Р3 = 0,2 м. На самом деле они прикреплены нитью к ободу г = 0,1 м. Таким образом, мы увеличиваем вклад этих масс в момент инерции в 4 раза.
7 Решение поставленной задачи Для определения ω3 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.
T T0 ARe (3.3)
где Т и Т0 - кинетические энергии системы в начальный момент времени и в конце перемещения S1,
ARe - работа внешних сил.
7.1. Кинетическая энергия Определяем Т0 и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то
Т0 = 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:
T =T1 +T3 +T5 |
(3.4) |
Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 5 -поступательно, а тело 3 - вращается вокруг неподвижной оси, получим:
T |
1 |
m V 2 |
|
1 |
I |
2 |
,T |
|
1 |
I |
2 |
,T |
m V 2 |
(3.5) |
|
|
|
||||||||||||
1 |
2 1 c1 |
|
2 |
|
c1 1 |
3 |
|
2 |
3 |
3 |
5 |
5 5 |
|
|
Скорости всех тел, входящих в систему, выразим через искомую угловую скорость ω3.
Входящие в (3.5) моменты инерции имеют значения:
I |
c1 |
0,5m r 2 |
, I |
3 |
m |
2 |
(3.6) |
|
|
1 |
1 |
|
3 |
3 |
|
||
Подставив все величины (3.6) и таблицы 3.3 в равенство (3.5), а затем, используя равенство (3.4), получим окончательно:
T ( |
3 |
m r 2 |
|
1 |
m |
2 |
|
1 |
m r 2 ) 2 |
(3.7) |
|||
|
|
|
|||||||||||
1 |
4 |
1 |
3 |
|
2 |
3 |
3 |
|
2 |
5 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проверено: все слагаемые в скобках имеют размерность момента инерции [кг*м2];
разность скорости [м/с]; угловой скорости [с-1]; перемещения [ м],
71
углов [-].
7.2. Работа сил Теперь найдем сумму работ всех действующих сил при том перемещении,
которое будет иметь система, когда точка Q пройдет путь.
Введем обозначения: S5 - перемещение груза 5 (S5 = S1), φ3- угол поворота шкива 3, λ0 И λ1 - начальное и конечное удлинение пружины, получим:
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A( |
F |
|
)= 20(3 2s)dS 20(3S1 S12 ) ; |
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A( P1 )=P1S1· sin60°; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A( |
|
5тр )= F тр ;S |
= fP S |
; |
|
|
|
|||||||||
F |
|
|
|
|||||||||||||
5 |
5 |
|
5 |
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
с |
(2 |
2 ) |
|
|
||||||||
A(M)=-Mf ; A( F |
упр )= |
; |
(3.8) |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
2 |
|
0 |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Проверено: размерность всех выражений [Н*м].
Работа остальных сил равна нулю, так как точки К1 и К2, где приложены силы N1 ; F 1тр ; S2 - мгновенные центры скоростей; точки, где приложены P3 ; N 3 ; P4 - неподвижны; а реакция N 5 перпендикулярна перемещению груза.
По условию задачи: Х0 = 0. Тогда λ1= SE - перемещение точки Е (конца пружины). Величины SE и φ3 надо выразить через заданное перемещение S1, для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как и между соответствующими скоростями. Тогда, поскольку ω3= VA/r3 = Vcl /r3 (равенство Vcl = VA уже отмечалось), то и:
3 |
|
S1 |
|
r3 |
|||
|
|
Далее, из рис. 1.6, видно, что VД VВ 3 R3 , а так как точка К2 является
мгновенным центром скоростей для блока 2 (он как бы «катится» по участку нити K2L), то VВ 0,5, VД 0,53 R3 ; следовательно, и λ1=SB= 0,5 3 R3 0,5S1 R3 / r3 .
При найденных значениях 3 и λ1 для суммы всех вычисленных работ получим:
|
|
S1 |
|
|
|
2 |
|
|
AKe |
20(3S1 2S12 ) + P1S1· sin60°- f 5 S1 M |
|
c |
|
R3 |
S12 |
(3.9) |
|
r |
|
2 |
||||||
|
|
8 |
|
r |
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
Подставляя выражения (3.7) и (3.9) в уравнение (3.3) и учитывая, что Т0=0, будем иметь:
( 43 m1r32 12 m3 32 12 m2 r32 ) 32 20(3S1 2S12 ) +