1.4. Минимизация погрешности измерения физической величины

1.4.1. О точности вычислений

Точность обработки числового материала должна быть согласована с точностью самих измерений. Вычисления, произведенные с большим числом десятичных знаков, чем необходимо, требуют лишней затраты труда и создают ложное впечатление о большой точности измерений. И наоборот, не следует ухудшать результаты измерений, пользуясь излишне грубыми методами вычислений.

Во всех случаях необходимо придерживаться следующего правила: ошибка, получающаяся в результате вычислений, должна быть примерно на порядок (т.е. в 10 раз) меньше суммарной ошибки измерений. Только в этом случае можно быть уверенным, что в результате арифметических операций мы ощутимым образом не исказим нашего результата.

Задача: Определить электрическое сопротивление проводника. Рассмотрим два способа определения этой физиической величины.

Пример 1:Сила тока, протекающего через проводникI = 27,30,27 мА, падение напряжения –U= 6,450,07 В (точность измерения не хуже 1 %). Погрешность измерения систематическая.

Согласно закону Ома для участка цепи

,

Оценим ошибку определения Rиз соотношения

==

Ом.

т.е.

%,

что несколько больше чем 1 % . Однако вычисления целесообразно делать не точнее, чем до четвертого знака и результат записать в виде

R = 2365 Ом.

О доверительной вероятности для ошибки в данном случае говорить не имеет смысла, ибо с одной стороны, указание погрешности прибора дает нам только верхний предел ошибки, но не закон распределения ошибок для данного прибора. С другой стороны, мы оговорили, что в нашем случае превалирует систематическая составляющая погрешности.

Пример 2:Сопротивление проводника определяется из соотношения

,

где - удельное сопротивление материала проводника,lиS– длина и площадьпоперечного сечения проводника.

Проведено 10 измерений длины lи диаметраdпроводника.l=25,233 мм (S_l = 0,12 мм),d= 1,54 мм (S_d= 0,21 мм). Считаем, что удельное сопротивление материала известно с относительной точностью, значительно большей, чем измеряемые величины.

Относительная среднеквадратичная погрешность Rбудет определена из соотношения

.

Принимая во внимание, что , имеем

.

Очевидно, что при окончательном подсчете ошибку измерения длины практически можно не учитывать. Коэффициент вариации измерения площади (квадрата диаметра) будет . Если мы выбираем доверительную вероятность 0.95, то по таблице 1для этого случаяt_,n= 2,3 и относительная погрешность среднего арифметического из наших десяти измерений будет

.

Эта ошибка соответствует доверительной вероятности 0,95.

Таким образом, Rнужно вычислять с точностью, немного большей 1 %, т.е. ограничиться третьей значащей цифрой. В случае медного провода для комнатной температуры мы получим

с погрешностью 1,3 %, или 310^-6Ом (для доверительной вероятности 0,95).

1.4.2. Погрешность определения погрешности

Если мы определяем среднюю квадратичную ошибку S_n для очень большого числа измерений n, то получаем величину, сколь угодно мало отличающуюся от свонго предельного значения, - . Однако, если n невелико, то средняя квадратичная ошибка S_n отягчена случайной погрешностью, тем меньшей, чем больше n. Так же, как для результатов измерения физической величины, существует закон распределения, дающий возможность установить доверительную вероятность того, что определнная нами из измерений погрешность будет отличаться от  в некоторое заданное нами число раз.

Для определения доверительного интервала, внутри которого находится , можно воспользоваться приближенной формулой

, (41) .

где - средняя квадратичная ошибка величиныS_n, вычисленной для n измерений.

На самом деле выражение (41) дает хорошие результаты для , для меньших значенийn оно используется в случае проведения грубых оценок величины .

Из (41) следует, что при n = 50 == =0,101, т.е.  определяется с точностью около 10%.

При n = 25 ==0,143, точность определения  около 15%.

При n = 10 ==0,24, точность определения  ~ 24%.

При n = 5 ==0,35, точность определения  ~ 35%.

Наглядно видно, что в условиях реального эксперимента, когда число измерений, как правило, находится в пределах , а чаще – ближе к 5 ожидать погрешность определения погрешности выше чем 24 – 35% не приходится, поэтому правила учета составляющих погрешности (п.п. 1.3.2.3) и округления погрешности и результатов измерения (п.п. 1.3.2.4) приведенные выше справедливо отражают положение дел ф физическом эксперименте.

В случае минимизации случайной составляющей погрешности измерения путем увеличения числа измерений для принятия решения необходимо учитывать величину общей погрешности и погрешность определения случайной погрешности.