- •Тверской государственный технический университет
- •Контрольная работа
- •Фамилия, имя, отчество
- •3. Обратная матрица
- •4. Ранг матрицы
- •5. Системы линейных уравнений
- •6. Примеры
- •Тема 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- •5. Прямая на плоскости.
- •6. Угол между двумя прямыми.
- •7. Плоскость в пространстве.
- •8. Прямая в пространстве.
- •Тема 3. Введение в математический анализ. Предел последовательности
- •Предел функции
- •Некоторые эталонные пределы
- •Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •Производная и дифференциал
- •1) 2).
- •Правило Лопиталя
- •Часть 2
3. Обратная матрица
Матрица называетсяобратной к матрице A, если .
Матрица имеет обратную только в том случае, если она невырожденная.
Обратная матрица находится по правилу
где - алгебраические дополнения элементов. Можно применить элементарные преобразования для нахождения обратной матрицы. Выпишем матрицуА и справа припишем единичную матрицу того же порядка и над строками их будем одновременно производить элементарные преобразования до тех пор, пока матрица А не превратиться в единичную. Тогда единичная матрица превратится в обратную.
Можно единичную матрицу располагать над матрицей А и производить элементарные преобразования над столбцами, тогда исходная единичная матрица превратится в обратную.
4. Ранг матрицы
Выберем в матрице k – строк и k – столбцов . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов составим определительk – го порядка, который назовём минором k – го порядка матрицы А. Рангом матрицы А называется число r, удовлетворяющее следующим условиям: 1) существует по крайней мере один минор порядка r, отличный от нуля; 2) все миноры порядка (r+1) равны нулю.
При этом пишут rank A=r. Если ранг матрицы А равен r, то любой отличный от нуля минор порядка r называется базисным.
Итак, для того чтобы вычислить ранг матрицы, необходимо вычислить все её миноры и среди них найти минор наибольшего порядка .
Очевидно, что ранг невырожденной матрицы равен порядку матрицы.
Не изменяют ранг матрицы следующие элементарные преобразования:
перестановка строк или столбцов;
умножение строк (столбцов) на число ;
прибавление к любой строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число ;
зачёркивание нулевой строки (столбца);
транспонирование.
Трапецеидальной матрицей называется матрица, имеющая вид
где
Другими словами, матрица является трапецеидальной, еслиприи.
Ранг такой матрицы равен m.
Таким образом, для нахождения ранга матрицы с помощью элементарных преобразований нужно привести матрицу к трапецеидальному виду.
5. Системы линейных уравнений
Системой линейных уравнений (СЛУ) называется система уравнений вида:
Система называется однородной, если
Матрица называется матрицей коэффициентов.
Матрица называют расширенной матрицей системы.
Столбец называют столбцом неизвестных.
Столбец называют столбцом свободных членов.
С учётом этих обозначений можно записать систему в матричной форме
.
Рассмотрим отдельно случай квадратной системы, когда , и общий случай, когда.
Квадратная система
Пусть дана СЛУ, в которой и.
Существуют три основных метода решения СЛУ:
а) метод Крамера
б) метод обратной матрицы
в) метод Гаусса
а) Обозначим
(определитель получается иззаменойi-го столбца на столбец свободных членов)
Тогда
б) Рассмотрим СЛУ в матричной форме
Домножим слева на
Но произведение
Таким образом
в) При решении СЛУ методом Гаусса, расширенную матрицу системы приводят к треугольному виду с помощью элементарных преобразований
По данной матрице составляется система
Из последнего равенства найдём и подставим его в предыдущее
Из этого равенства найдём и подставим в предыдущее и т.д.
Общий случай
Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда
.
В случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, систему удобно решать методом Гаусса, который состоит в приведении расширенной матрицы к трапецеидальному виду путём применения элементарных преобразований. Если при этом на некотором этапе получается строка, в которой все элементы, кроме столбца свободных членов, равны нулю, то система несовместна (это случай, когда ). Если, то система имеет бесконечно много решений, и каждое решение зависит отне зависящих друг от друга параметров, т.е. степень свободы системы. В качестве параметров удобно брать «лишние неизвестные», которые объявляются свободными, остальные переменные – базисные выражаются через свободные.
Однородная система линейных уравнений
Расширенная матрица отличается от матрицы коэффициентов наличием нулевого столбца, т.е. . Значит, по теореме Кронекера-Капелли система всегда совместна. Одно решение очевидно -. Это решение называетсятривиальным. Если , то решение единственное – тривиальное, если, то решений бесконечно много.
Обозначим базисные неизвестные , тогда
В матричной форме
Можно записать так:
, где
Решение называетсяфундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы. Общее решение системы является линейной комбинацией фундаментальной системы решений.