5. Прямая на плоскости.

Прямая на плоскости может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1). - общее уравнение прямой;

2). - уравнение с угловым коэффициентом.- угловой коэффициент и он равен тангенсу угла наклона прямой с положительным направлением оси;

3). - уравнение прямой, проходящей через точкуперпендикулярно нормальному вектору;

4). - каноническое уравнение прямой, проходящей через точкупараллельно направляющему вектору;

5). - параметрические уравнения прямой;

6). - уравнение прямой, проходящей через две точки;

7). - уравнение прямой в отрезках на осях, гдеa и b величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях;

8). - нормальное уравнение прямой, где- угол, который образует нормальный вектор, направленный из начала координат к прямой,p – расстояние от начала координат до прямой.

Общее уравнение (1) приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель:

.

Если прямая l задана нормальным уравнением, а - некоторая точка плоскости, то выражение:называется отклонением точкиот прямойl.

Знак указывает на взаимное расположение точки, прямойl и начала координат. Если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямойl, то , а если по одну, то. Расстояние от точкидо прямойl находится по формуле:

.

6. Угол между двумя прямыми.

1). Пусть заданы две прямые:

и

Нормальные векторы прямых имеют координаты:

Угол между прямыми можно найти как угол между нормальными векторами:

.

Условие параллельности двух прямых:

.

Условие перпендикулярности:

т.е. .

2). Если прямые заданы каноническими уравнениями:

и ,

то их направляющие векторы: .

Аналогично с п.1). имеем:

Условие параллельности:

.

Условие перпендикулярности:

.

3). Если две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

,

тогда угол между прямыми можно вычислить по формуле:

,

при этом угол отсчитывается в направлении от первой прямой ко второй.

Условие параллельности:

.

Условие перпендикулярности:

.

Примеры:

1. Дано общее уравнение прямой: . Напишите различные типы уравнений этой прямой.

а). Уравнение прямой в отрезках;

б). Уравнение прямой с угловым коэффициентом;

в). нормальное уравнение прямой;

.

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору.

Решение: Воспользуемся уравнением

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и начало координат.

Решение: Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:

4. Написать уравнение прямой с направляющим вектором и проходящей через точку

Решение:

5. Найти угол между прямыми и

Решение:

6. Показать, что прямые иперпендикулярны.

Решение:

Найдём скалярное произведение и

, следовательно, прямые перпендикулярны.

7. Даны вершины треугольника . Найти уравнения медианы, высоты, биссектрисы, проведённых из вершиныС.

С

А Н М К В

а). медиана СМ

точка М – середина отрезка АВ.

Найдём координаты точки М:

Итак, точка

Найдём уравнение СМ как прямой, проходящей через 2 точки М(3,3) и С(12,-1)

б). высота СН

Так как , то вектор, значит он является нормальным для прямойСН, также известны координаты точки С, через которую проходит прямая СН.

в). биссектриса СК

Воспользуемся следующим свойством биссектрисы: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.

Возьмём на биссектрисе СК текущую точку . По свойству имеем:. Ноиесть расстояния от точкиN до АС и ВС соответственно.

C

N

A K B Составим уравнения АС и ВС:

АС:

ВС:

Нормируем эти уравнения:

, следовательно, АС: ,

тогда ;

, следовательно, ВС: ,

тогда .

Так как

Для того, чтобы снять модули в этом соотношении, установим положение начала координат относительно прямых АС и ВС. Так как нормали из точкиО в сторону АС и ВС сонаправлены, то соотношение примет вид:

СК: .

8. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку и составляющих с прямойугол.

Будем искать уравнение прямой в виде . Так как прямая проходит через точкуА, то её координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. . Угол между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами можно найти по формуле:

.

Так как угловой коэффициент данной прямой равен , а угол, то

Имеем два значения k:

.

Найдём соответствующие значения b:

Получили две искомые прямые: .

9. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного прямой и осями координат равна 8.

Будем искать уравнение прямой в отрезках

, так как , то

10. При каких значениях параметра t прямые ипараллельны?

Прямые, заданные общими уравнениями параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е.

11. Найти уравнение общей хорды двух окружностей:

Решение: Найдём точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений:

Соответственно, .

Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точки , через которые проходит эта прямая:

12. Найти расстояние от точки до прямой.

Решение: Нормируем уравнение прямой .

.