- •Тверской государственный технический университет
- •Контрольная работа
- •Фамилия, имя, отчество
- •3. Обратная матрица
- •4. Ранг матрицы
- •5. Системы линейных уравнений
- •6. Примеры
- •Тема 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- •5. Прямая на плоскости.
- •6. Угол между двумя прямыми.
- •7. Плоскость в пространстве.
- •8. Прямая в пространстве.
- •Тема 3. Введение в математический анализ. Предел последовательности
- •Предел функции
- •Некоторые эталонные пределы
- •Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •Производная и дифференциал
- •1) 2).
- •Правило Лопиталя
- •Часть 2
7. Плоскость в пространстве.
Плоскость в пространстве может быть задана одним из следующих уравнений:
1). - общее уравнение плоскости;
2). - уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно нормальному вектору;
3). - уравнение плоскости в отрезках,- отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат;
4). - уравнение плоскости, проходящей через точки;
5). - уравнение плоскости, проходящей через точкупараллельно двум неколлинеарным векторам;
6). - нормальное уравнение плоскости, где- направляющие косинусы нормального вектора, направленного из начала координат к плоскости,- расстояние от начала координат до плоскости.
Общее уравнение приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель
.
Если плоскость задана нормальным уравнением и точка- некоторая точка пространства, то выражениеназывается отклонением точкиот плоскости.
Расстояние от точки до плоскостиопределяется равенством
.
Две плоскости ипараллельны, если, т.е.иколлинеарны, перпендикулярны, если, т.е.и.
Угол между плоскостями есть угол между нормалями:
.
8. Прямая в пространстве.
Прямая в пространстве может быть задана:
1). Общими уравнениями
,
что равносильно её заданию как линии пересечения двух плоскостей;
2). Каноническим уравнением
,
прямая проходит через точку параллельно направляющему вектору;
3). Параметрическими уравнениями
.
Заметим, что направляющий вектор прямой можно найти как векторное произведение нормальных векторови, т.е.
.
Угол между прямыми есть угол между направляющими векторами
.
Угол между прямой и плоскостьюопределяется по формуле:
.
Условие параллельности прямой и плоскости:
.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .
Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Пусть прямые заданы каноническими уравнениями:
и .
Две прямые лежат в одной плоскости, если компланарны векторы , т.е. их смешанное произведение равно 0, т.е.
.
Если , то прямые являются скрещивающимися.
Примеры:
Составьте уравнение плоскости, зная что точка служит основанием перпендикуляра, проведённого из начала координат к этой плоскости.
Решение: По условию задачи вектор является нормальным вектором плоскости и точкапринадлежит плоскости.
Воспользуемся уравнением:
Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки: ии перпендикулярной плоскости.
Решение: Вектор нормали к плоскости параллелен искомой плоскости.
Выберем на плоскости текущую точку . Векторы- компланарны. Тогда
Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось и образующей с плоскостьюугол.
Решение: Плоскость, проходящая через ось задаётся уравнением, гдеА и В одновременно в ноль не обращаются. Пусть , тогда. Обозначим, тогда уравнение плоскости примет вид.
Нормальный вектор данной плоскости , искомой плоскости.
По формуле косинуса угла между двумя плоскостями имеем:
.
Откуда получаем две плоскости:
В пучке, определяемом плоскостями и, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку.
Решение: Уравнение пучка плоскостей имеет вид:
или
.
Для того, чтобы выделить из пучка плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты этой точки в уравнение пучка
откуда имеем .
Тогда уравнение плоскости, содержащей точку М, найдём, подставив соотношение в уравнение пучка
Так как (иначе, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение:.
Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности нормальных векторов:
.
Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:
или (в силу того, что )
5. Даны координаты вершин пирамиды
Найти угол между ребром и гранью.
Решение: Найдём вектор нормали к грани , как векторное произведениеи.
.
Найдём координаты вектора .
Найдём угол между вектором нормали и:
Искомый угол между вектором и плоскостью равен .
6. Даны плоскость , прямаяи точка.
а). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и параллельной плоскости .
В качестве вектора нормали к искомой плоскости можно взять - нормаль. Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:.
б). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М и параллельной . В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять- направляющий вектор. Тогда уравнение прямой:
в). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной .
В качестве вектора нормали к исходной плоскости можно взять - направляющий вектори уравнение плоскости будет
г). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной .
Направляющим вектором искомой прямой можно взять - нормаль. Отсюда получим уравнение прямой
д). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и прямую .
Запишем уравнение в параметрической форме:Придавдва различных значения, например,найдём две точки прямой.
Точки принадлежат искомой плоскости. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки:
.
е). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной плоскостям и.
В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять векторное произведение и- нормальных векторови.
.
Зная точку М, через которую проходит плоскость, и вектор нормали , составим уравнение искомой плоскости:
.
ж). Найти точку пересечения прямой и плоскости.
Воспользуемся параметрическими уравнениями прямой .
Подставим эти уравнения в уравнение плоскости .
.
Подставим найденное значение t в параметрические уравнения прямой
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости
з). Найти расстояние от точки М до плоскости .
Нормируем уравнение плоскости
Найти каноническое уравнение прямой, если она задана в виде:
Решение: Чтобы составить каноническое уравнение нужно знать точку, через которую проходит эта прямая и направляющий вектор.
Для нахождения произвольной точки прямой примем её координату (можно взять любое другое значение) и подставим в систему
Итак, точка .
Прямая задана как пересечение плоскостей, векторы нормалей иперпендикулярны прямой. Поэтому в качестве направляющего вектораможно взять векторное произведение
.
Тогда каноническое уравнение прямой:
.
Найти расстояние от точки до прямой:.
Составим уравнение плоскости ,
проходящей через точку перпенди-
кулярно .
Найдём точку пересечения прямойи плоскости.
Перейдём к параметрическим уравнениям прямой :
Подставим их в уравнение плоскости:
Таким образом, точка .
Искомое расстояние