FA Арсеньев Функ.Ан
.pdf
÷òî 1
(A2) > 2 2:
Продолжая этот процесс по индукции, мы получим последовательность множеств
\
En = En 1 n An ; An En 1 ; An Am = ; ; n 6= m;
и последовательность чисел
1
n = supf (A) j A En 1g; 0 < 2 n < (An) :
Пусть
|
|
|
[ |
|
|
|
A = An: |
|
|
|
n |
Òàê êàê A 2 A; òî (A) < 1, è |
|||
1 |
X n < X (An) = (A) < 1: |
||
|
|
||
2 |
|||
|
|
n |
n |
поэтому
lim n = 0:
n!1
Следовательно, множество E0 n A отрицательно и удовлетворяет неравенству
(E0 n A) < 0;
чего, как мы видели выше, быть не может.
Теорема доказана. |
\ |
|
Положим |
|
|
(A) = (A |
E ): |
(1.170) |
Определенные равенством (1.170) функции множеств неотрицатель- ны, счетно-аддитивны и являются мерами на -агебре A, причем справедливо равенство
8(A 2 A) : (A) = +(A) (A): |
(1.171) |
Равенство (1.171) называется разложением Хана (подразумевается, конечно, что это то разложение, которое сделал Õàí).
Разложение Хана единственно в следующем смысле: если f
E
другие
множества, удовлетворяющие теореме 1.2.9, то
\
8(A 2 A ; A E+ E ) : (A) = 0: f
79
1.2.9Общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве Lp(X).
Линейным непрерывным функционалом на пространстве Lp(X) называ-
ется такое отображение
l : Lp(X) 7!C1;
которое линейно:
l( f + g) = l(f) + l(g); |
|
и непрерывно: |
|
jl(fn)j ! 0 ; åñëè kfn j Lp(X)k ! 0 ; n ! 1: |
(1.172) |
Условие (1.172) выполнено, если |
|
9C < 1 : jl(f)j < Ckf j Lp(X)k: |
(1.173) |
Можно показать, что условие (1.173) является необходимым и достаточ- ным условием непрерывности линейного функционала.
Число
kl j Lp(X)?k := supfjl(f)j j kf j Lp(X)k 1g
называется нормой линейного функционала.
Общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве Lp(X) 1 < p < 1 описан в теореме 1.2.10. Доказательсву этой теоремы
мы предпошлем несколько лемм. Мы будем предполагать, что условие 1.1.8 выполнено: функция f0(x) 1 принадлежит пространству L0(X) и выполнено условие нормировки:
I(1) = 1:
Ниже мы будем предполагать, что p è q -сопряженные показатели сте-
ïåíè: p1 + 1q = 1; причем 1 < p < 1:
Лемма 1.2.13. Åñëè ! 2 Lq(X); то формула
l(f) = I(!f) |
(1.174) |
задает линейный нерерывный функционал на пространстве Lp(X); при- чем норма этого функционала есть
kl j Lp(X)?k = k! j Lq(X)k: |
(1.175) |
80
Доказательство. Из теоремы 1.1.4 следует, что правая часть (1.175) корректно определяет линейный функционал на Lp(X); из неравенства
Минковского следует оценка
jl(f)j k! j Lq(X)k kf j Lp(X)k;
из которой вытекает, что задаваемый формулой (1.174) линейный функционал непрерывен и его норма удовлетворяет неравенству
kl j Lp(X)?k k! j Lq(X)k: |
(1.176) |
Пусть
f(x) := sign((!(x)))j!(x)jq=pk! j Lq(X)k q=p:
Тогда
f 2 Lp(X) ; kfkp = 1;
è
l(f) = k! j Lq(X)k:
Следовательно,
kl j Lp(X)?k = k! j Lq(X)k :
Лемма доказана.
Лемма 1.2.14. Если l -линейный непрерывный функционал на пространстве Lp(X); то существует такая функция !(x) 2 Lq(X) что справедливо равенство
Доказательство. Пусть -мера, порожденная интегралом I è A есть-алгебра множеств, измеримых относительно A. Формула
8(A 2 A) : (A) = l(I(A j )) |
(1.177) |
порождает -аддитивную (в силу непрерывности функционала l) функцию множеств на -алгебре A. Пусть E -множества, котроые входят в разложение Хана функции ,
\
(A) = l(I(A E j )): (1.178)
Из (1.178) следует, что
\
(A) kl j Lp(X)?kkI(A E j ) j Lp(X)k const (A)1=p;
81
поэтому меры абсолютно непрерывны относительно меры , и в силу теоремы Радона-Никодима существуют такие функции ! (x) 2 L(X),
÷òî |
8(A 2 A) : (A) = Z |
!(x)I(A j x) (dx): |
(1.179) |
Положим |
!(x) = !+(x) ! (x): |
|
|
|
(1.180) |
||
Из (1.177) следует, что для всех принимающих лишь конечное число значений функций f(x) 2 Lp(X) и определенной равенствами (1.179)-
(1.180) функции !(x) справедливо равенство
Z
l(f) = !(x)f(x) (dx): (1.181)
Положим
f(x j a) := f(x)I(j!(x)j < a j x)
Из (1.181) следует, что для всех принимающих лишь конечное число значений функций f(x) 2 Lp(X) справедливо равенство
Z
l(f( j a)) = !(x)f(x)I(j!(x)j < a j x) (dx): (1.182)
Предельным переходом (см.лемму 1.2.5 на стр. 59) равенство (1.182) распространяется на все функции из Lp(X):
Z
8(f 2 Lp(X)) : l(f( j a)) = !(x)f(x)I(j!(x)j < a j x) (dx): (1.183)
причем, очевидно,
jl(f( j a))j jkl j Lp(X)?kkf( j a) j Lp(X)k: |
(1.184) |
Подставив в уравнение (1.184) функцию
f(x) = sign(!(x))j!(x)jq=pI(j!(x)j < a j x);
мы получим неравенство:
Z
l(f) = j!(x)jqI(j!(x)j < a j x) (dx) = k!( j a) j Lq(X)kq
kl j Lp(X)?kkf j Lp(X)k = kl j Lp(X)?kk!( j a) j Lq(X)kq=p;
откуда следует, что
k!( j a) j Lq(X)k kl j Lp(X)?k: |
(1.185) |
82
Переходя в (1.185) к пределу a ! 1; мы получим, что входящая в (1.183) функция !(x) принадлежит пространству Lq(X): Затем мы можем перейти к пределу a ! 1 в равенстве (1.183). Лемма доказана.
Собирая доказанные выше леммы, мы получаем следующее утверждение.
Теорема 1.2.10. Любой линейный непрерывный функционал на пространстве Lp(X) ; 1 < p < 1; задается в виде
l(f) = I(!f);
ãäå ! 2 Lq(X) и q-сопряженный к p показатель: q = p=(p 1).
Случаи p = 1 è p = 1 -особые, и мы их рассматривать не будем, отослав Читателя к цитированной в коментариях литературе.
1.2.10Функции с ограниченной вариацией и абсолютно непрерывные функции.
В этом параграфе мы докажем несколько теорем о функциях дейтвительной переменной на отрезке. Эти теоремы существенно используются в математической теории рассеяния.
Пусть на отрезке [a ; b] R1 задана действительная функция f(x) и пусть
T = fa = x0 < x1; : : : < xn = bg
-разбиение отрезка [a ; b]. Положим
V (T j f)ab = |
X |
|
jf(xj+1 f(xj)j: |
(1.186) |
0 j<n
Полной вариацией (или изменением) функции f(x) на отрезке [a ; b] называется взятая по всем разбиениям точная верхняя грань сумм вида (1.186):
V (f)ab = sup V (T j f)ab : |
(1.187) |
Функция f(x) называется функцией с ограниченной вариацией (или функцией с ограниченным изменением), если
V (f)ba < 1:
83
Приведем примеры.
1. Любая монотонная функция есть функция с ограниченным изменением и для монотонной функции
V(f)ba = jf(a) f(b)j:
2.Если функция f(x) на отрезке [a ; b] имеет непрерывную ограни- ченную производную, то
V (f)ba (b a) supfjf0(x)j j x 2 (a ; b)g:
3. Не любая непрерывная функция имеет ограниченное изменение. Примером непрерывной функции с неограниченным изменением является функция
f(x) = |
(px cos( ) ; 0 < x |
|
1: |
|||
|
0 ; x = 0; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
||
на отрезке [0 ; 1]. Åñëè |
|
|
|
|
|
|
T = fx0 = 0 < 1=2n < 1=(2n 1) < : : : x2n = 1; |
||||||
òî |
X |
1 p |
|
|
||
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
V (T ; f)0 = p n ! 1 ; n ! 1:
1 j n 2j
Теорема 1.2.11. 1. Если функции f и g имеют ограниченное изменение, то функция f + g имеет ограниченное изменение и
V( f + g)ba j jV (f)ba + j jV (g)ba:
2.Если функция f имеет ограниченное изменение и a c b, то
V (f)ab = V (f)ac + V (f)cb: |
(1.188) |
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Для доказательства второго утверждения рассмотрим произвольное разбиение T отрезка [a ; b]
T добавлением точки c.
[
T 0 = T1 T2;
T 0, которые лежат на отрезке [a ; c], à T2 -точки разбиения T 0, которые лежат на отрезке [c ; b]. Имеем:
V (T ; f)ba V (T 0 ; f) V (T1 ; f)ca + V (T2)bc
V (f)ca + V (f)bc:
84
Так как это неравенство справедливо для любого разбиения, то
V (f)ba V (f)ca + V (f)bc:
С другой стороны, для любых разбиений T1 è T2 отрезков [a ; c] è [c ; b]
имеем: |
[T2 ; f)ab = V (T1 ; f)ac + V (T2 ; f)cb; |
V (f)ab V (T1 |
V(f)xa+ x f(x + x) (V (f)xa f(x)) =
V(f)xx+ x (f(x + x) f(x))
V(f)xx+ x jf(x + x) f(x)j 0:
Равенство
f(x) = V (f)xa (V (f)xa f(x)):
дает искомое представление. Теорема доказана.
Функция имеет ограниченное изменение в том и только том случае, если она есть разность двух неубывающих функций.
Определение 1.2.20. Функции f(x) на отрезке [a ; b] называется абсолютно непрерывной, если для любого > 0 существует такое ( ) > 0,
что для любых интервалов (aj ; bj) [a ; b] ; 1 j n, которые удовлетворяют условиям
\ |
X |
8(j 6= i) : (aj ; bj) (ai ; bj) = ; ; |
(bj aj) < ( ) |
|
1 j n |
выполнено неравенство
X
jf(aj) f(bj)j < :
1 j n
85
Очевидно, что любая абсолютно непрерывная функция непрерывна.
Теорема 1.2.13. Абсолютно непрерывная функция имеет ограниченную вариацию.
Доказательство. Пусть функция f(x) абсолютно непрерывна на отрезке [a ; b]. Докажем, что она имеет ограниченную вариацию на отрезке [a ; b]. Найдем такое > 0, ÷òî
XX
( (bi ai) < ) ) ( |
jf(ai) f(bi)j < 1): |
i |
i |
Пусть
T = fa = x0 < x1 < : : : < xn = bg
-произвольное разбиение. Без ограничения общности будем считать, что
8i : xi+1 xi < :
Определим последовательность j(k) по правилу:
j(0) = 0 ; j(k + 1) = maxfj j |
X |
(xi+1 xi) < g: |
|
|
j(k) i<j |
Имеем:
X |
X |
X |
jf(xj+1) f(xj)j = |
( |
jf(xi+1) f(xi)j) |
0 j<n |
0 k<N |
j(k) i<j(k+1) |
< (N + 1) ; N = [(b a)= ]:
Так как это неравенство справедливо для любого разбиения, то теорема доказана.
Выше мы привели пример непрерывной функции с неогрниченной вариацией. Следовательно, существуют непрерывные, но не абсолютно непрерывные функции. Функция Кантора есть пример функции с ограниченным изменением, но не абсолютно непрерывной.
Теорема 1.2.14. Если функция f(x) абсолютно непрерывна на отрезке [a ; b], то функция
x 7!V (f)xa
абсолютно непрерывна на отрезке [a ; b].
86
Доказательство. Пусть дано > 0. Найдем такое ( ) > 0, ÷òî
(Xi |
(bi ai) < ( )) ) (Xi |
jf(ai) f(bi)j < ): |
||
Для каждого отрезка [ai ; bi] найдем такое разбиение |
|
|||
Ti = fai = xi ; 0 < xi ; 1 < : : : < xi ; n(i) = big; |
|
|||
÷òî |
|
0 X |
|
|
|
bi |
i |
: |
|
V (f)ai |
jf(xi ; j+1) f(xi ; j)j + 2 |
|||
j<n(i)
Так как интервалы (xi ; j+1 ; xi ; j) не пересекаются и
X
(xi ; j+1 xi ; j) < ( )
i ; j
òî
XX
V (f)bi jf(xi ; j+1) f(xi ; j)j + 2 :
ai
ii ; j
Так как отрезки [ai ; bi] произвольны, то теорема доказана.
Следствие 1.2.3. Любая абсолютно непрерывная функция есть разность двух неубывающих абсолютно непрерывных функций:
f(x) = V (f)xa (V (f)xa f(x)):
Напомним определение интеграла Лебега-Сильтьеса. Пусть F (x) -
неубывающая непрерывная справа ограниченная функция на отрезке [a ; b] R1 ; F (b) < 1 ; F (a) = 0; и пусть f(x) -непрерывна íà îò-
резке [a ; b], à T = fa = x0 < x1; : : : < xn = bg -разбиение отрезка [a ; b]. Составим интегральную сумму
X
S(T ; f) = f( j)(F (xj+1) F (xj)) ; j 2 (xj+1 ; xj):
0 j<n
Предел таких сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю называется интегралом Римана-Стильтьеса:
diamT !0 |
b |
Za |
|
lim S(T ; f) := |
f(x)dF (x): |
87
Теперь рассмотрим пространство C([a ; b]) всех непрерывных функций на отрезке [a ; b] как пространство элементарных функций в схеме Да-
ниэля и интеграл Римана-Стильтьеса как элементарный интеграл и построим расширение этого интеграла. Полученный интеграл называется интегралом Лебега-Стильтьеса и мы будем обозначать его тем же символом, что и интеграл Римана-Стильтеса. Если характеристическая функ-
ция множества A [a ; b] интегрируема, то число
Z
(F j A) := I(A j x)dF (x)
называется мерой, порожденной монотонной функцией F (x). Åñëè F (x) x, то интеграл называется интегралом Лебега, а мера
Z b
jAj := I(A j x)dx:
a
-мерой Лебега.Пусть fx(j)g -множество точек разрыва функции F (x):
x(j): F (x(j) + 0) F (x(j) 0) > 0:
Множество fx(j)g не более чем счетно. Определим функцию
X
Fd(x) := F (x(j) + 0) F (x(j) 0):
x(j)<x
Пусть
Fc(x) := F (x) Fd(x):
Функция Fc(x) непрерывна на отрезке [a ; b] и монотонно не убывает. Следовательно, она порждает интеграл и меру (Fc j ) на борелевских множествах отрезка [a ; b], причем
8( ; ) [a ; b] : (Fc j ( ; )) = Fc( ) Fc( ):
Ê ìåðå (Fc j ) и мере Лебега на отрезке [a ; b]
разложение Лебега, а к абсолютно непрерывной части меры (Fc j )
можно применить теорему Радона-Никодима. Так мы получим следующее утверждение.
Монотонно неубывающую непрерывную справа неотрицательную функцию F (x) на отрезке [a ; b] можно представить как
сумму трех функций:
F (x) = Fac(x) + Fsing(x) + Fd(x); |
(1.189) |
88