Содержание отчета

1. Задание

2. Формулы с пояснениями

3. Результат выполнения задания в Mathcad’е .

4. Тест для разработки алгоритма.

5. Блок-схема алгоритма с таблицей идентификаторов

6. Исходный код

7. Входные и выходные данные программы

8. Библиографический список.

Контрольные вопросы

1. Как сформировать нижнюю и верхнюю треугольные матрицы?

2. Как сформировать неособенную и особенную квадратные матрицы?

3. Как сформировать неособенную квадратную матрицу с диагональным преобладанием для случаев:

1)

2)

4. Приведите алгоритмы для вычисления норм матрицы.

5. Как определить ранг матрицы?

6. Приведите алгоритмы формирования вектора-строки и вектора-столбца.

7. Каким свойством обладает обратная матрица? Ответ подтвердите примером.

8. Как оцениваются точность и временные затраты обращения матрицы?

9. Как получить обратную матрицу?

10. Приведите алгоритм разбиения матрицы на клетки.

11. Как сформировать квазидиагональную матрицу?

12. Приведите алгоритм окаймления матрицы.

13. Приведите алгоритм формирования ленточной матрицы.

14. Как сформировать положительно определенную матрицу?

15. Как сформировать разреженную матрицу?

16. Как сформировать ортогональную матрицу?

17. Приведите алгоритм формирования вектора транспозиции.

18. Приведите примеры алгоритмов получения эквивалентных матриц.

19. Как разложить неособенную квадратную матрицу в произведение двух матриц? Каких матриц? Когда разложение будет единственно возможным?

20. Как можно разложить в произведение матриц положительно определенную матрицу?

21. Как можно разложить в произведение матриц ленточную положительно определенную матрицу?

22. Объясните обращение матриц методом окаймления.

23. Объясните обращение матриц методом Ершова.

24. Объясните обращение матриц методом Фаддеева.

Методы решений систем линейных алгебраических уравнений (слау) Краткие сведения

При решении системы уравнений -го порядкахарактеристикой точности являетсяневязкаравная

где =A - решение системы

Прямые методы решений слау Метод Гаусса

Методом Гаусса называют точный метод решения невырожденной системы линейных уравнений состоящий в том что последовательным исключением неизвестных систему



приводят к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам



Существует много вариантов этого методаРассмотрим схему единственного деленияОна эффективнакогда максимальные по модулю коэффициенты уравнений находятся на главной диагонали матрицыЭто положительно определенные матрицы и матрицыобладающие свойством диагонального преобладания:



Пусть исходная система имеет вид

(1)

Предположимчтои разделим обе части первого уравнения системы наВ результате получим

 (2)

где С помощью уравнения (2) исключим во всех уравнениях системы (1)начиная со второгослагаемыесодержащиеДля этого умножаем обе части уравнения (2) последовательно наи вычитаем соответственно из второготретьего-го уравнения системы (1)В результате получаем системупорядок которой на единицу меньше порядка исходной системы:

где Аналогично преобразуем полученную системуВ результате- кратного повторения этого преобразования получим систему с треугольной матрицей:

(3)

которая эквивалентна системе (1) и легко решаетсяНайденное из последнего уравненияподставляют в предпоследнее уравнение и находятзатеми тддокоторое находят из первого уравнения системыкогда уже известны

Таким образомметод Гаусса содержит прямой ходна котором исходную систему преобразуют к треугольному видуи обратный ходна котором решают треугольную систему (3)эквивалентную исходной

На рис.4.1 и 4.2 представлены алгоритмы прямого хода и обратного хода при решении системы.

Рис.4.1 – прямой ход алгоритма решения системы линейных

алгебраических уравнений методом Гаусса по схеме с частичным

выбором ведущего коэффициента по столбцу

Рис.4.2 – обратный ход алгоритма решения системы линейных

алгебраических уравнений методом Гаусса по схеме с частичным

выбором ведущего коэффициента по столбцу

Коэффициенты называют ведущими (главными) элементами метода ГауссаНа каждом шаге предполагалосьчтоЕсли окажетсячто это не такто в качестве ведущего элемента можно использовать любой другой ненулевой элемент системыОднакоесли коэффициентмалто после деления на этот элемент и вычитания-го уравнения из последующих возникают большие погрешности округленияЧтобы избежать этогоуравнения на каждом этапе переставляют такчтобы на главной диагонали оказался наибольший по модулю элемент-го столбцаПри этом от схемы единственного деления переходят к схеме с частичным выбором (по столбцу) ведущего (главного) элемента, что и реализовано в алгоритме на рис.4.1. Если матрица системы хорошо обусловлена (темалые изменения ее элементов не приводят к существенным изменениям элементов ее обратной матрицы)то в методе Гаусса с выбором главного элемента погрешности округления невелики

Одновременно с решением системы можно найти определитель матрицы системыкоторый равен произведению ведущих элементовте

В схеме полного выбора (выбор главного элемента по всей матрице) допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестныхНа первом шаге средиопределяют максимальный по модулю элементПервое уравнение системы и уравнение с номеромменяют местамиДалее исключают неизвестноеиз всех уравненийкроме первогоНа-м шаге средипри неизвестных в уравнениях с номерамивыбирают максимальный по модулю коэффициентЗатем-е уравнение и уравнениесодержащееменяют местами и исключаютиз уравнений с номерамиНа этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке:

Другой вариант метода Гаусса приводит к системе с обратной матрицей коэффициентовЕслито можно разрешить первое из уравнений системы (1) относительнои подставить это выражение в остальные уравненияВ результате получим систему

(4)

где На следующем шаге при условиичтоисключают переменнуюиз правых частей уравненийЕсли возможно выполнитьтаких шаговто возникает система тевыполнено обращение исходной матрицы 

Если на -м шаге матрицу коэффициентов представить в виде блоков



то блок размера определяет матрицу обратную соответствующему блоку матрицы  в то время как есть матрица обратная соответствующему блоку матрицы  Все это достаточно просто установить если положить в первыхуравнениях (1) и соответственнов последнихуравнениях (4)

Метод Жордана-Гаусса

Если при реализации варианта с частичным выбором ведущего элемента позволить номеру строки пробегать значения отдои отдо то все элементы -го столбца за исключением диагонального элемента становятся нулями Вместо верхней треугольной матрицы получают теперь в конечном результате единичную матрицу:



Тем самым получение решения существенно упрощается:  Тем не менее в совокупности этот метод требует больше операций и, следовательно больших затрат машинного времени, чем метод Гаусса