Метод квадратного корня Пусть требуется решить слау с симметрической положительно определенной матрицей  Матрица приводится к виду  где

при

Найдем элементы матрицы Для этого вычислим элементы матрицы и приравняем их соответствующим элементам В результате получим систему уравнений

Решая эту системупоследовательно находим

После тогокак матрицабудет найденазаменим исходную систему двумя эквивалентными ей системами с треугольными матрицами. Отсюда можно последовательно найти

Метод прогонки

Это простой и эффективный алгоритм решения СЛАУ с трехдиагональными матрицами:

(6)

Выведем расчетные формулыИз первого уравнения системы (6) получим

 где

Подставим выражение для во второе уравнение системы (6) и получим

Преобразуем это уравнение к виду

 где

Подставляем последнее выражение в третье уравнение и тдНа-м шаге этого процесса () уравнение системы преобразуется к виду

 (7)

где 

На -м шаге подстановка в последнее уравнение выраженияприведет к уравнениюОтсюда Значения остальных неизвестныхдлявычисляются по формуле (7)

Алгоритм метода прогонки состоит из двух этаповПрямой ход (прямая прогонка) состоит в вычислении прогоночных коэффициентовиПрикоэффициенты вычисляют по формулам:   а при- по рекуррентным формулам:



При прямая прогонка завершается вычислением



Обратный ход (обратная прогонка) дает значения неизвестныхСначала полагаютЗатем значения остальных неизвестных вычисляют по формуле

Метод вращений

Прямой ход методаНа первом шаге исключаютиз всех уравнений СЛАУ (1)кроме первогоДля этого вычисляютимеющие свойства  

Затем первое уравнение системы заменяют линейной комбинацией первого и второго уравнений с коэффициентами иа второе уравнение – аналогичной линейной комбинацией с коэффициентамииВ результате получаем систему

(8)

в которой Было

Если в исходной системе то полагают

Выполненное преобразование эквивалентно повороту вектора вокруг осина уголтакойчто

Для исключения из третьего уравнения вычисляют



причем 

Затем первое уравнение системы (8) заменяют линейной комбинацией первого и третьего уравнений с коэффициентами иа третье уравнение – аналогичной комбинацией с коэффициентамии

Таким же образом исключают из уравнений с номерамиВ результате первого шага (состоит измалых шагов) система приводится к виду

(9)

На втором шаге метода вращенийсостоящем измалых шаговиз уравнений системы (9) с номерамиисключаютДля этого каждое-е уравнение комбинируют со вторым уравнениемВ результате приходят к системе:

После завершения -го шага система примет вид

Обратный ход метода вращений – как в методе Гаусса

Итерационные методы решений слау

Для систем средней размерности чаще используют прямые методыИтерационные методы применяют для решения задач большой размерностикогда использование прямых затруднено из-за необходимости выполнения чрезмерно большого числа арифметических операцийБольшие системы уравненийкак правилобывают разреженнымиМетоды исключения приводят к томучто большое число нулевых элементов превращаются в ненулевыеи матрица теряет свойство разреженностиА в ходе итерационного процесса матрица не меняется и остается разреженнойБольшая эффективность итерационных методов по сравнению с прямыми методами связана с возможностью существенного использования разреженных матриц

Метод простой итерации (метод Якоби)

СЛАУ необходимо предварительно преобразовать к виду где– квадратная матрица с элементами– вектор-столбец сДля приведения системы (1) к видуудобному для итерацийисключим неизвестные из уравнений следующим образом:

(10)

На главной диагонали матрицы находятся нулевые элементыа остальныевыражаются по формулам:

Суть метода Якоби состоит в следующемВыберем начальное приближениеиподставив его в правую часть системы (10)найдем первое приближениеПродолжая процесс далееполучим последовательностьприближенийвычисляемых по формулеили в развернутом виде:

Метод простой итерации сходится при условии диагонального преобладания:

Метод Зейделя (метод Гаусса-Зейделя процесс Либмана метод последовательных замещений)

На k+1-й итерации компоненты приближениявычисляются по формулам:

Метод Якоби ориентирован на системы с матрицамиблизкими к диагональныма метод Зейделя – на системы с матрицамиблизкими к нижним треугольнымАлгоритм метода Зейделя представлен на рис.4.3.

Рис.4.3 – алгоритм итерационного метода Гаусса-Зейделя

решения систем линейных алгебраических уравнений