Контрольные вопросы

1. С какой целью и как интерполируют подынтегральные функции?

2. Как вычисляются и какими свойствами обладают коэффициенты Котеса?

3. Как используются коэффициенты Котеса?

4. Как используются коэффициенты и абсциссы Гаусса?

5. Расскажите о частных случаях формулы Ньютона-Котеса.

6. Приведите иллюстрации вычисления интегралов по частным случаям формулы Ньютона-Котеса.

7. Приведете иллюстрации использования формулы прямоугольников (срединных, левых, правых).

8. Объясните алгоритм вычисления приближенного значения интеграла в вашем задании.

9. Как получить составные формулы в частных случаях методов Ньютона-Котеса и Гаусса?

10. Как сократить затраты машинного времени в алгоритмах на рис. 7.1, 7.3, 7.4, 7.5?

11. Как сократить затраты машинного времени в алгоритмах на рис. 7.7, 7.9?

12. Сравните по затратам машинного времени частные случаи формулы Ньютона-Котеса.

13. Сравните по ошибке интегрирования частные случаи формулы Ньютона-Котеса.

14. Сравните по ошибке интегрирования формулы прямоугольников (срединных, левых, правых).

15. Где, зачем и как используется правило Рунге?

16. Объясните адаптивный алгоритм по методу Ньютона-Котеса.

17. Объясните адаптивный алгоритм по методу Гаусса.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОДУ) И СИСТЕМ ОДУ

Краткие сведения

Решением обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ)

(1)

называется функция (в графическом варианте её называют также интегральной кривой),определенная в некоторой области плоскости,дифференцируемая на некотором интервале и, следовательноудовлетворяющая условиям,.Задача отыскания решения ОДУимеющего начальные значения, называется задачей Коши

В численных методах решение ОДУ с начальным условием вычисляется для значений аргументаЗначенияназываются узламиа величинаh- шагом интегрирования; черезобозначают значение приближенного решения в узле

Метод интегрирования оду с помощью ряда Тейлора

Этот метод теоретически годится для решения любых ДУно практического интереса не представляетОднако ценность его в томчто он может быть использован в качестве эталонапо которому сравниваются практически удобные методы Эйлера и Рунге-Кутта

Разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точкиимеет вид

Если значения расположены на расстояниидруг от другато

(2)

Ряд Тейлора позволяет получить решение в узле по начальным условиям задачи Коши:а по решению в произвольном узле- решение в узле:

(3)

Сравнение (2) и (3) приводит к выводучто решение получено при отбрасывании членов ряданачиная с членасодержащегоСледовательноошибка ограничения равнаДля уменьшения ошибки ограничения необходимо вычислять значения первой и последующих производных функциив узлечто требует выполнения практически неприемлемого объема вычислений

Метод Эйлера

Метод Эйлера основан на формуле (3)Иллюстрация метода Эйлера представлена на рис.8.1;- касательная кв точкеи, следовательно, её наклон определяется значением производной. Погрешность метода пропорциональнаh²иследовательнослишком велика при допустимой величинеДля повышения точности метод Эйлера модифицируют путем использования значений функциив дополнительных точках

Рис.8.1 – иллюстрация метода Эйлера

Первый модифицированный метод Эйлера (“с пересчетом”)

Этот метод основан на формулах:

(4)

Иллюстрация метода представлена на рис.8.2, где - касательные, наклон которых определяется значениямисоответственно, наклон прямойи параллельной ейопределяется значением. Отметим, что прямаяявляется биссектрисой угла, образованного прямыми.

Иллюстрация метода наглядно доказывает уменьшение ошибки ограничения по сравнению с методом Эйлера.

Рис.8.2 – иллюстрация первого модифицированного

метода Эйлера (метода «с пересчетом»)

Теперь докажем факт уменьшения ошибки ограничения, показав, как этот метод согласуется с разложением в ряд Тейлора. Итак, разложим в окрестности точкив ряд Тейлора:

,

где вычислены в точке. Обозначивчерез, получим

,

где - сумма остальных членов ряда. Подставим разложение в (4) и получим

.

Полученный результат позволяет сделать следующие выводы.

1. Метод «с пересчетом» согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени .

2. Порядок метода равен максимальной степени в его разложении. По сравнению с методом Эйлера порядок увеличился на 1 и стал равным 2. Поэтому метод «с пересчетом» называют методом Рунге-Кутта 2-го порядка, или РК2.

3. Увеличение порядка на 1 явилось следствием вычисления производной в дополнительной точке, т.е. вычисления

Второй модифицированный метод Эйлера (метод “ломаных”)

Метод “ломаных” использует формулы:

(5)

Иллюстрация метода представлена на рис.8.3, где - касательная кв точкеи, следовательно, её наклон определяется значением производной .

Рис.8.3 – иллюстрация второго модифицированного

метода Эйлера (метод «ломаных»)

Следовательно, в методе “ломаных” производная вычисляется в дополнительной точке , которая была получена после вычисления производной в точке, как. Можно показать, что этот метод также является методом РК2.

Итак, модифицированные методы Эйлера имеют погрешность порядка h³. Они относятся к семейству методов Рунге-Кутта второго порядка (РК2)