- •В.В. Чуркин численные методы
- •Содержание
- •Нелинейных уравнений Краткие сведения
- •1 Метод деления пополам (метод дихотомии, метод бисекций)
- •2 Метод хорд
- •3 Метод касательных (метод Ньютона)
- •4 Метод секущих
- •5 Метод итераций
- •5 Комбинированные методы решений нелинейных уравнений
- •Решение нелинейных уравнений в системе Mathcad
- •Пример построения графика функции и решения нелинейного уравнения
- •Лабораторная работа 1
- •Задание
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Интерполирование в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 2
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения Алгебра матриц
- •Алгоритмы формирования матриц
- •Методы разложения матриц
- •Методы обращения матриц
- •Операции с векторами и матрицами в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 3
- •Задание
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Методы решений систем линейных алгебраических уравнений (слау) Краткие сведения
- •Прямые методы решений слау Метод Гаусса
- •Метод ортогонализации строк
- •Метод решения системы с ленточными матрицами
- •Метод Холецкого
- •Метод квадратного корня Пусть требуется решить слау с симметрической положительно определенной матрицей Матрица приводится к виду где
- •Метод прогонки
- •Метод вращений
- •Итерационные методы решений слау
- •Метод релаксации
- •Вычисление матричных выражений
- •Пример решения слау в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 4
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 5
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Выполнение аппроксимации (регрессии) в системе Mathcad
- •Пример проведения регрессий – линейной и линейной общего вида
- •Лабораторная работа 6
- •Задание
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Вычисление первообразных и интегралов в системе Mathcad
- •Лабораторная работа 7
- •Задание
- •Варианты вычисляемых интегралов и методов (формул) вычислений представлены в таблицах 1 и 2
- •Контрольные вопросы
- •Краткие сведения
- •Метод интегрирования оду с помощью ряда Тейлора
- •Метод Эйлера
- •Метод Рунге-Кутта третьего порядка рк3
- •Ошибки методов
- •Интегрирование систем оду и оду высших порядков
- •Методы прогноза и коррекции
- •Первый вариант метода Адамса
- •Второй вариант метода Адамса
- •Метод на основе методов Милна и Адамса-Башфорта
- •Метод Хемминга
- •Интегрирование систем оду в системе Mathcad
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
3 Метод касательных (метод Ньютона)
Если имеет одну и более непрерывных производных (т.е.достаточно гладкая), то можно применить метод Ньютона (метод касательных) и метод секущих, позволяющие сократить число вычислений функции по сравнению с методом деления пополам и методом хорд, т.е. уменьшить затраты машинного времени.
В методе Ньютона каждое новое приближение вычисляется как единственный нуль касательной прямой к функции в точке :
Это итерационная формула метода Ньютона.Каждая итерация требует вычисления не только, но и её производной.
Иллюстрация к методу касательных представлена на рис.1.7, а алгоритм метода – на рис.1.8.
Метод Ньютона обладает хорошей сходимостью.Основная трудность заключается в выборе начального приближениякоторое ведет к сходящемуся итерационному процессу.Поэтому методу Ньютона часто предшествует какой-нибудь глобально сходящийся алгоритм типа деления пополам.
Рис.1.5 – иллюстрация к методу хорд
4 Метод секущих
Данный метод заменяет производную первой разностью,найденной по двум последним итерациям.Итерационная формула метода имеет вид
В этом алгоритме начинают с двумя исходными числами и На каждом шагеполучают как единственный нуль секущей прямой к функции проходящей через точки с абсциссами и (рис.1.9). Алгоритм метода секущих приведен на рис.1.10.
Метод секущих имеет хорошую сходимость.Недостаток - в назначениии,достаточно близких к корню для того,чтобы могла начаться сходимость.
Рис.1.6 – алгоритм метода хорд
5 Метод итераций
Уравнение заменяют равносильным Выбирают каким-либо способом приближенное значение корня и по нему находятПовторяя процесс,получают последовательность чисел:
Если эта последовательность - сходящаяся,то предел является корнем равносильного уравнения и может быть вычислен по итерационной формулес любой степенью точности.
Процесс итераций следует продолжать до тех пор,пока для двух последовательных приближений не будет выполнено неравенство где - заданная абсолютная точность вычисления корня и
Поэтому в методе итераций при переходе от уравнения к уравнению следует выбирать такое представление,при котором что является условием сходимости методаЧем меньше тем быстрее последовательные приближения сходятся к корнюИллюстрации к методу итераций даны на рис.1.11, алгоритм – на рис.1.12
В заключение следует отметитьчто не существует методакоторый имел бы явное преимущество перед остальными для произвольного класса функций
5 Комбинированные методы решений нелинейных уравнений
Методы комбинируют для повышения эффективности: комбинированный метод должен обеспечить при той же величине ошибки меньшие затраты машинного времени по сравнению с любым из комбинируемых методов. Примеры алгоритмов комбинированных методов представлены на рис.1.13 и 1.14.
Рис.1.7 – иллюстрация к методу касательных
Рис.1.8 – алгоритм метода касательных
Рис.1.9 – иллюстрация к методу секущих
Рис.1.10 – алгоритм метода секущих
Решение нелинейных уравнений в системе Mathcad
Для уравнений видакорень находится с помощью функциигде выражение -;- нижняя и верхняя границы диапазона значений аргумента
При решении уравнений полезно построение графика функции Для этого достаточно выполнить следующие действия
На панели математических знаков щелкнуть на кнопке с изображением графика – на экране появится палитра графиков
В палитре графиков щелкнуть на кнопке с изображением двумерного графика – на экране появится шаблон графика
В место ввода шаблона по оси ординат ввести функциюнабрав её выражениенапример
Рис.1.11а,б – иллюстрации к методу итераций
Рис.1.12 – алгоритм метода итераций
Ввести в место ввода шаблона по оси абсцисс имя аргумента -
Щелкнуть вне пределов графика левой кнопкой мыши – график построен
Примечание ВMathcadоперация присваивания := вводится как :а операция умножения изображается точкой после ввода *